[論文レビュー] A Lifting Construction for Scalar Linear Index Codes

Roop Kumar Bhattaram, Mahesh Babu Vaddi+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2015

Cooperative Communication and Network Coding参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、基数問題から出発し、メッセージおよび受信者数が整数倍である対称的多重ユニキャストインデックスコーディング問題の系列を生成するリフト構成を提案する。基数問題に最適なスカラ線形インデックスコーディングが存在する場合、この構成により、すべてのリフトされた問題に対しても最適なスカラ線形コードを導出可能であり、従来未知の構成に対して容量を達成する新しいクラスのコードの構築が可能になる。

ABSTRACT

This paper deals with scalar linear index codes for canonical multiple unicast index coding problems where there is a source with K messages and there are K receivers each wanting a unique message and having symmetric (with respect to the receiver index) antidotes (side information). Optimal scalar linear index codes for several such instances of this class of problems have been reported in \cite{MRRarXiv}. These codes can be viewed as special cases of the symmetric unicast index coding problems discussed in \cite{MCJ}. In this paper a lifting construction is given which constructs a sequence of multiple unicast index problems starting from a given multiple unicast index coding problem. Also, it is shown that if an optimal scalar linear index code is known for the problem given starting problem then optimal scalar linear index codes can be obtained from the known code for all the problems arising from the proposed lifting construction. For several of the known classes of multiple unicast problems our construction is used to obtain several sequences of multiple unicast problem with optimal scalar linear index codes.

研究の動機と目的

• 既存の最適なスカラ線形コードを有する問題から、系統的な方法で新しい対称的多重ユニキャストインデックスコーディング問題を生成すること。
• 基数問題における最適なスカラ線形インデックスコーディングが、すべての派生問題に対しても最適に保たれることを保証すること。
• リフトされた問題の構造的性質を調査し、既知の最適解を有する新しいインデックスコーディング問題のクラスを同定すること。
• リフトプロセスがノイズのある通信環境における臨界性および適性を保持するかどうかを検討すること。

提案手法

• リフト構成は、K 個のメッセージと対称的なアンチドートパターンを有する基数の多重ユニキャストインデックスコーディング問題から出発する。
• 任意の整数 m ≥ 2 に対して、mK 個のメッセージおよび受信者を有する新しい問題を構築する。ここで、各受信者のアンチドートは、サイズ K の m 個のブロックに複製される。
• 基数の最適なスカラ線形コードの符号記号を、各メッセージ記号 y_k を i = 0 から m-1 まで合算した ∑_{i=0}^{m-1} x_{k+iK} に置き換えることでリフトする。これにより、元と同一の長さの新しいコードが得られる。
• リフトされたコードの有効性は、同じブロック内およびブロック間のすべての他の受信者において、合算に含まれる各メッセージ記号がサイドインフォーメーションとして利用可能であることを示すことによって証明される。
• この構成は、元のコードの構造を保ちつつ、対称的かつ周期的なアンチドートパターンを持つより大きな問題インスタンスに拡張する。
• この手法は、片側アンチドートを持つ10の既知の対称的ユニキャスト問題クラスに適用され、最適なコードを有する新しい問題の族が生成される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既知の最適な基数問題から出発し、新しい対称的多重ユニキャストインデックスコーディング問題を系統立てて生成する方法を考案可能か？
• RQ2 リフトプロセスが、すべてのリフトされた問題インスタンスにおいてスカラ線形インデックスコーディングの最適性を保つか？
• RQ3 リフトされた問題に、元の最適コードが最適のまま残る構造的不変量が存在するか？
• RQ4 リフト構成により、従来未知の最適なスカラ線形コードを有する新しいインデックスコーディング問題のクラスが生成可能か？
• RQ5 リフト構成が、ノイズのあるインデックスコーディングまたは誤り耐性通信に与える影響は何か？

主な発見

• リフト構成により、K 個のメッセージを有する基数問題から出発し、任意の整数 m ≥ 2 に対して、mK 個のメッセージおよび受信者を有する対称的多重ユニキャストインデックスコーディング問題の系列が生成される。
• 基数問題に最適なスカラ線形コードが存在する場合、メッセージ置換（y_k → ∑_{i=0}^{m-1} x_{k+iK}）により構築されたリフトコードは、すべてのリフト問題に対して最適である。
• m=2 の場合、K=19、D=14 の基数問題に適用すると、K=38、D=24 の新しい問題が得られ、長さ 14 の最適コードが得られる。
• m=3 の場合、同じ基数問題は、K=57、D=43 の問題に拡張され、長さ 14 の最適コードが得られ、スケーラビリティが示される。
• リフトにより、あるクラスから別の既知のクラスに移行するケース（例：m=2 の場合、ケース1がケース2にマッピングされる）と、クラスがリフトによって保存されるケース（2つのケースがリフトに対して不変のままである）が同定される。
• この手法により、最適なスカラ線形コードが明示的に構築され、最適性が証明された、複数の新しい対称的マルチキャストインデックスコーディング問題のクラスが生成される。