[論文レビュー] A limit-computable function which does not have any single-fold Diophantine representation and whose computability is an open question

Apoloniusz Tyszka|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2013

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 2被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、E_n 上の任意のディオファントス方程式系の唯一の非負整数解における最大値を界にする限界計算可能関数 f(n) を導入する。f(n) が単一折りのディオファントス表現を持ついかなる関数よりも優越することを証明し、無限ループを用いて次第に精度を高める近似値を返す MuPAD 実装を提示する。

ABSTRACT

Let E_n={x_k=1, x_i+x_j=x_k, x_i \cdot x_j=x_k: i,j,k \in {1,...,n}}. For any integer n \geq 2214, we define a system T \subseteq E_n which has a unique integer solution (a_1,...,a_n). We prove that the numbers a_1,...,a_n are positive and max(a_1,...,a_n)>2^(2^n). For a positive integer n, let f(n) denote the smallest non-negative integer b such that for each system S \subseteq E_n with a unique solution in non-negative integers x_1,...,x_n, this solution belongs to [0,b]^n. We prove that if a function g:N-->N has a single-fold Diophantine representation, then f dominates g. We present a MuPAD code which takes as input a positive integer n, performs an infinite loop, returns a non-negative integer on each iteration, and returns f(n) on each sufficiently high iteration.

研究の動機と目的

• E_n 上の任意のディオファントス方程式系の唯一の非負整数解における最大値を界にする関数 f(n) を定義すること。
• f(n) が、単一折りのディオファントス表現を持つ任意の関数 g:N→N を支配することを証明すること。
• f(n) を無限ループを用いて計算する MuPAD アルゴリズムを構築すること。このループの十分高い反復回数で f(n) を返す。
• f(n) が限界計算可能であるが、単一折りのディオファントス表現を持たないことを示すこと。
• f(n) の定義は明確であるが、その計算可能性は未解決の問題のまま残っていることを確立すること。

提案手法

• 論文は、変数 x_1 から x_n を含む等式、加法、乗法制約を含む方程式の集合 E_n を定義する。
• n ≥ 2214 のとき、唯一の整数解 (a_1, ..., a_n) を持つ特定の部分系 T ⊆ E_n を構築する。
• すべての a_i が正であることを証明し、max(a_1, ..., a_n) > 2^(2^n) であることを示し、解の大きさに対する下界を確立する。
• 関数 f(n) を、すべての E_n の部分系 S に対して、その唯一の解が [0, b]^n 内にあるような最小の非負整数 b として定義する。
• 任意の関数が単一折りのディオファントス表現を持つならば、f(n) に支配されることを用いて、f(n) の支配性を導出する。
• f(n) の無限計算をシミュレートする MuPAD コードを実装し、十分高い反復回数で f(n) を返す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 限界計算可能であるが、単一折りのディオファントス表現を持たない関数 f(n) が存在するか？
• RQ2 f(n) を、すべての単一折りのディオファントス表現を持つ関数を支配するように定義できるか？
• RQ3 f(n) は計算可能か、それともその計算可能性は構成にもかかわらず未解決の問題のままか？
• RQ4 すべての E_n の部分系 S に対して、その唯一の解が [0, b]^n 内にあるような最小の境界 b は何か？
• RQ5 MuPAD の無限ループを用いて、高次の反復で f(n) を返すことで、f(n) を近似できるか？

主な発見

• n ≥ 2214 のとき、T ⊆ E_n はすべての a_i が正で、max(a_1, ..., a_n) > 2^(2^n) を満たす唯一の整数解 (a_1, ..., a_n) を持つ。
• 関数 f(n) は、すべての E_n の部分系 S に対して、その唯一の解が [0, b]^n 内にあるような最小の非負整数 b として定義される。
• 単一折りのディオファントス表現を持つ任意の関数 g:N→N は、十分大きな n に対して g(n) < f(n) を満たす。
• MuPAD コードは無限ループを実装し、十分高い反復回数で f(n) を返す。これにより f(n) が限界計算可能であることが示された。
• しかし、f(n) は単一折りのディオファントス表現を持たず、その計算可能性は未解決の問題のまま残っている。
• この構成により、f(n) がすべての単一折りのディオファントス表現を持つ関数を支配することを示し、限界計算可能性と表現可能性の間のギャップを強調した。