[論文レビュー] A Limit Theorem for Radix Sort and Tries with Markovian Input

Kevin Leckey, Ralph Neininger+1 more|arXiv (Cornell University)|May 27, 2015

Algorithms and Data Compression参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、マーカフソースを用いた入力モデル下で、トライ木の外部パス長および基数整列法の時間計算量に関する中心極限定理を、収縮法に加えてモーメント移動および積バージョンのゾロタレフ距離を用いた新しい応用によって確立する。主な貢献は、マーカフソース下でのこれらの構造に対する、これまでにない厳密な極限定理の確立であり、こうしたデータ構造における依存性を解析する長年の課題を解決する。

ABSTRACT

Tries are among the most versatile and widely used data structures on words. In particular, they are used in fundamental sorting algorithms such as radix sort which we study in this paper. While the performance of radix sort and tries under a realistic probabilistic model for the generation of words is of significant importance, its analysis, even for simplest memoryless sources, has proved difficult. In this paper we consider a more realistic model where words are generated by a Markov source. By a novel use of the contraction method combined with moment transfer techniques we prove a central limit theorem for the complexity of radix sort and for the external path length in a trie. This is the first application of the contraction method to the analysis of algorithms and data structures with Markovian inputs; it relies on the use of systems of stochastic recurrences combined with a product version of the Zolotarev metric.

研究の動機と目的

• 入力文字列がマーカフ過程によって生成される場合のトライ木の外部パス長の漸近的分布を分析すること。
• 従来の解析的手法が対応できなかった、マーカフソース下でのパス長解析における強い依存性の困難を克服すること。
• 従来はi.i.d.またはメモリレスな入力にのみ適用されてきた収縮法を、マーカフソース入力を持つ再帰的データ構造へと拡張すること。
• 一般マーカフモデル下で、トライ木の外部パス長および基数整列法の複雑さに関する中心極限定理を確立すること。
• システムとしての確率的再帰関係の解析に適した、ゾロタレフ距離の積バージョンを開発し、収縮法の枠組みに適用すること。

提案手法

• 著者らは、元来クイックソートの解析に開発された収縮法を用い、マーカフソース入力下での再帰的データ構造の分布的挙動を分析する。
• トライ木および基数整列法の再帰的構造を反映する、確率的再帰関係のシステムとして外部パス長および基数整列法の複雑さをモデル化する。
• マーカフソース設定下での複数の再帰的成分の同時分布収束を扱うために、ゾロタレフ距離の積バージョンを導入する。
• 高階モーメントの収束を制御するためのモーメント移動技術を用い、収縮法をi.i.d.入力に限らない非i.i.d.入力へ応用可能にする。
• 収束の制御に、新規のカップリング論法と、モーメントが制御された測度空間における確率分布上の収縮写像の使用に依拠する。
• チェルノフ型の不等式および大数の法則を用いて、部分問題のサイズ（例えば、左および右部分木内の文字列数）の分布を制御し、分布収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マーカフ生成文字列から構築されたトライ木の外部パス長は、中心極限定理を満たすか？
• RQ2 収縮法は、i.i.d.入力に限らず、マーカフソース入力を持つ再帰的データ構造に対しても拡張可能か？
• RQ3 入力文字列がマーカフ過程に従う場合、基数整列法の時間計算量の極限分布は何か？
• RQ4 マーカフモデルが導入する依存性は、パス長の収束速度および漸近的分散にどのように影響するか？
• RQ5 マーカフソース入力下での確率的再帰関係のシステムを解析するため、ゾロタレフ距離の積バージョンを構築可能か？

主な発見

• マーカフソースから生成された $ n $ 個の文字列に基づくトライ木の外部パス長および基数整列法の複雑さは、$ n \to \infty $ の下で中心極限定理を満たす。
• 極限分布は平均が0、漸近的分散 $ \sigma^2 $ がマーカフソースの遷移行列に依存する正規分布である。
• 収縮法はマーカフソース入力へと成功裏に拡張され、アルゴリズム解析におけるこうした設定への収縮法の初の適用である。
• ゾロタレフ距離の積バージョンの使用により、再帰的データ構造に由来する確率的再帰関係のシステムにおける同時収束解析が可能になった。
• スラツキーの補題およびモーメント制御を用いて、正規化された複雑さ $ (B_n^\mu - \mathbb{E}[B_n^\mu]) / \sqrt{n \log n} $ が正規分布に収束することが確立された。
• 収束の誤差項は $ n \to \infty $ の下で消えることが示され、剰余項は $ O(1/\sqrt{\log n}) $ で有界であることが確認され、漸近的正規性が裏付けられた。