[論文レビュー] A Linear, Decoupled and Energy stable scheme for smectic-A Liquid Crystal Flows

Xiaofeng Yang, A. V. Brylev|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2017

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式と、配向パラメータおよび層秩序パラメータの2つの2階楕円型方程式を結合する非線形系に従うスマエクティック-A液晶流れをシミュレートするための、線形で分離可能かつ無条件エネルギー安定な時間積分スキームを提示する。非線形項に対して明示的・陰的処理を採用することで、無条件エネルギー安定性を達成し、各時間ステップで線形で分離可能な方程式を解くことができ、時間積分のエネルギー散逸を保証する効率的で頑健な長時間シミュレーションが可能となる。

ABSTRACT

In this paper, we consider numerical approximations for the model of smectic-A liquid crystal flows. The model equation, that is derived from the variational approach of the de Gennes free energy, is a highly nonlinear system that couples the incompressible Navier-Stokes equations, and two nonlinear coupled second-order elliptic equations. Based on some subtle explicit--implicit treatments for nonlinear terms, we develop a unconditionally energy stable, linear and decoupled time marching numerical scheme. We also rigorously prove that the proposed scheme obeys the energy dissipation law at the discrete level. Various numerical simulations are presented to demonstrate the accuracy and the stability thereafter.

研究の動機と目的

• スマエクティック-A液晶流れをモデル化する複雑で非線形な系に対して、数値的に効率的かつ熱力学的に整合性のあるスキームを開発すること。
• 対流項および応力項に起因する速度、圧力、配向場、層関数の間の強い結合を扱う課題に取り組むこと。
• 無条件安定かつ離散レベルでエネルギー散逸法則を保存する時間積分を構築すること。
• 各時間ステップで非線形系を解かずに線形で分離可能な方程式を達成すること。
• スキームの精度、安定性、および磁場やせん断流れ下でのチェルンパターンのような物理現象の捉え込み能力を検証すること。

提案手法

• 非線形項に対して明示的処理、線形項に対して陰的処理を採用した安定化時間積分スキームを設計する。
• スキームにより、各時間ステップで速度、圧力、配向場、層関数のための別々の線形方程式にシステムを分離する。
• 非線形対流項および応力項を適切に扱うための繊細な分割戦略を採用し、エネルギー安定性を保証する。
• 離散エネルギー法則を厳密に証明し、時間ステップサイズに依存しない無条件エネルギー散逸を示す。
• 適切な境界条件を備えた有限差分または有限要素法による空間積分を実装する。
• 数値実験により、時間方向の1次精度およびエネルギー安定性を収束解析および長時間シミュレーションによって検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高非線形性を示すスマエクティック-A液晶モデルに対して、エネルギー安定性を保ちつつ線形で分離可能な時間積分スキームを構築できるか？
• RQ2 各時間ステップで非線形系を解かずに、速度、圧力、配向場、層関数の間の強い結合をどのように扱えるか？
• RQ3 離散設定において無条件エネルギー安定性を保証する非線形項の明示的・陰的処理の組み合わせは何か？
• RQ4 磁場やせん断流れによって誘発されるチェルンパターンのような物理現象を、スキームは正確に捉えられるか？
• RQ5 長時間シミュレーションにおいて、スキームは1次時間精度およびエネルギー散逸を維持するか？

主な発見

• 提案スキームは無条件エネルギー安定性を達成しており、時間ステップサイズにかかわらず、各ステップで離散エネルギーが減少する。
• スキームは線形で分離可能であり、各時間ステップで速度、圧力、配向、層関数のための別個の線形系を解くため、計算コストを顕著に低減する。
• 数値収束テストにより、すべての変数について時間方向に1次精度であることが確認され、誤差勾配は理論的期待と一致する。
• ヘルフリッヒ＝フロールト効果のシミュレーションでは、磁場下でチェルンパターンの形成が観察され、エネルギー散逸曲線が安定性を裏付けた。
• せん断流れを組み込むと、揺らぎの対称性が歪められ、複雑な流体力学的効果の捉え込み能力が示された。
• 長時間シミュレーションにおいてもエネルギー散逸曲線は単調減少を示し、長時間ダイナミクスに対するスキームの頑健性が検証された。