[論文レビュー] A linear isoperimetric inequality for the punctured Euclidean plane

Leonid Polterovich, Jean-Claude Sikorav|ArXiv.org|Jun 26, 2001

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、punctured Euclidean 平面 ℝ²∖ℤ² 内の可縮曲線に対して線形等周不等式を確立し、その曲線が囲む面積がその長さの (1+√2) 倍以下であることを証明する。証明は、組合せ的群論における洗練された小崩壊論法に依拠し、語 aba⁻¹b⁻¹c の正規閉包に属する元の組合せ的面積が、それらの (a,b)-長さの半分以下であることを示す。この結果はハミルトニアン力学に応用され、2次元トーラス上の非自明なハミルトニアン微分同相写像の微分のノルムが線形成長を示すことを示している。

ABSTRACT

It follows from a general theorem of Bonk and Eremenko that closed plane curves which are contractible in the complement to the integral lattice satisfy a linear isoperimetric inequality. We give an alternative proof of this fact. Our approach is based on a non-standard combinatorial isoperimetric inequality which requires a refinement of the small cancellation theory. We present an application of the isoperimetric inequality for the punctured plane to Hamiltonian dynamics. Combining it with methods of symplectic topology we show that every non-identical Hamiltonian diffeomorphism of the 2-torus has at least linear asymptotic growth of the differential.

研究の動機と目的

• punctured Euclidean 平面 ℝ²∖ℤ² 内の可縮曲線に対する線形等周不等式を、Gromov 双曲空間理論の代わりに群論的証明で与えること。
• 3生成子の自由群に関係式 r = aba⁻¹b⁻¹c を持つものにおいて、組合せ的等周不等式を鋭く確立すること。
• 2次元トーラス上のハミルトニアン力学に等周不等式を応用し、非自明なハミルトニアン微分同相写像の微分ノルムが線形成長を示すことを証明すること。
• 古典的小崩壊理論を洗練させ、全語長の代わりに部分長さ (a,b)-長さを用いて等周定数を改善すること。
• 明示的な例を用いて、組合せ的設定における等周定数 1/2 が鋭いかを示すこと。

提案手法

• 関係式 ⟨a,b,c | aba⁻¹b⁻¹c⟩ に対する標準的でない組合せ的等周不等式を用い、関係式 r = aba⁻¹b⁻¹c の正規閉包に注目する。
• (a,b)-長さ l(w) を、w ∈ N の巡回簡約において a±¹ および b±¹ の文字数と定義する。c±¹ は無視する。
• 洗練された小崩壊理論のバージョンを用いて、任意の w ∈ N に対して A(w) ≤ ½ l(w) が成り立つことを証明する。
• ℝ²∖ℤ² 内のループと自由群 F₃ の語との間の幾何学的から組合せ的への対応を確立する。
• ハミルトニアン微分同相写像 ψ による曲線 γ とその像からなるループに等周不等式を適用し、ある格子 L に対して ℝ²∖L で可縮であることを示す。
• シンプレクティック面積の上限と作用差分 δ(x,y,ψⁿ) = nδ(x,y,ψ) を用いて、面積と長さの推定から ||dψⁿ|| の線形成長を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gromov 双曲空間理論の代わりに、組合せ的群論を用いて ℝ²∖ℤ² における線形等周不等式を証明できるか？
• RQ2 自由群 F₃ において、語 aba⁻¹b⁻¹c の正規閉包における組合せ的面積の最適等周定数は何か？
• RQ3 ℝ²∖ℤ² における線形等周不等式は、2次元トーラス上の非自明なハミルトニアン微分同相写像の微分ノルムが線形成長を示すことを示唆するか？
• RQ4 古典的小崩壊理論を洗練させ、全語長の代わりに部分長さ (a,b)-長さを等周推定に用いることは可能か？
• RQ5 定理 1.2 における等周定数 1/2 は鋭いか？ そして、明示的な群元の列を用いてこれを示せるか？

主な発見

• すべての滑らかな可縮曲線 α に対して、ℝ²∖ℤ² において、Area(α) ≤ (1+√2) Length(α) が成り立つ。
• F₃ において、aba⁻¹b⁻¹c の正規閉包に属するすべての w に対して、組合せ的等周不等式 A(w) ≤ ½ l(w) が成り立ち、この定数は鋭い。
• 列 uₖ = (b⁻¹c)ᵏabᵏa⁻¹ に対して、k → ∞ のとき A(uₖ)/l(uₖ) → ½ となる。これにより、定数 ½ の鋭さが証明される。
• 任意の非自明な 2次元トーラス上のハミルトニアン微分同相写像 ψ に対して、ある κ > 0 が存在し、||dψⁿ|| ≥ κn が成り立つ。
• 固定点を持つ非ハミルトニアン面積保存型微分同相写像に対しても、フリックス同型写像条件を満たせば、同様の線形成長が得られる。
• 証明技法は、シンプレクティック位相幾何学、シンプレクティック面積推定、および等周不等式を組み合わせ、微分の成長に対する下界を導出する。