[論文レビュー] A Linear-Optical Proof that the Permanent is #P-Hard

Scott Aaronson|Sep 8, 2011

graph theory and CDMA systems被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、線形光学的量子計算と後選択（postselection）を用いて、整数行列のパーマネントを計算することは#P困難である、量子計算に基づく新しい証明を提示する。n光子の線形光学回路における振幅がn×n行列のパーマネントに対応することを示し、後選択可能な線形光学の普遍性を活用することで、著者たちは量子力学に裏付けられたより直感的な物理的根拠に基づいた、ヴァリオンの古典的結果の再導出を達成した。

ABSTRACT

One of the crown jewels of complexity theory is Valiant's 1979 theorem that computing the permanent of an n*n matrix is #P-hard. Here we show that, by using the model of linear-optical quantum computing---and in particular, a universality theorem due to Knill, Laflamme, and Milburn---one can give a different and arguably more intuitive proof of this theorem.

研究の動機と目的

• ヴァリオンの定理（パーマネントの計算が#P困難であること）の代替的でより直感的な証明を提供すること。
• パーマネントの#P困難性が、線形光学的量子計算と後選択の原理から導かれる可能性を示すこと。
• 量子計算が、より明確な物理的意味を持つフレームワークを提供することで、根本的な計算複雑性結果の再導出を可能にすること。
• パーマネントの近似値や符号の計算が、同様に#P困難であることを示すこと。

提案手法

• 後選択可能な線形光学による量子計算の普遍性を示すKLM普遍性定理を用いる。
• n光子の線形光学回路における量子振幅をn×n行列のパーマネントとして表現する。
• #P計算をシミュレートする量子回路を構築し、充足割り当ての数を行列のパーマネントとして符号化する。
• ToffoliゲートやCSIGNゲートを含む一連の量子ゲートを用いて、パーマネントの計算を量子振幅計算に還元する。
• 特定の測定結果に射影するための後選択を適用し、#P困難な振幅を行列のパーマネントに符号化する。
• 行列要素を有限精度に切り詰め、スケーリングすることで、元の#P計算を正確に符号化する整数行列のパーマネントが得られるようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パーマネントの#P困難性は、組合せ的ガジェットに頼らず、量子計算の原理に基づいて再導出可能か？
• RQ2 後選択可能な線形光学は、パーマネントの複雑性を理解する上で物理的に意味のある枠組みを提供するか？
• RQ3 パーマネントの符号や絶対値の計算の困難性は、量子後選択を用いて確立可能か？
• RQ4 中間の還元（例：#3SATへの還元）を回避して、直接的に#P問題からパーマネントへの還元が可能か？
• RQ5 量子後選択の影響が、パーマネントの近似の困難性に及ぼす意味は何か？

主な発見

• 整数行列のパーマネントを計算することは#P困難であり、これは#P計算から線形光学的量子振幅（すなわちパーマネント）への還元によって示された。
• この証明により、整数行列のパーマネントの符号を計算することはチューリング還元のもとで#P困難であることが確立された。
• 任意の乗法的要因の近似でもパーマネントを計算することは#P困難であり、符号を決定するのにも#P完全問題を解く必要があるためである。
• 同じ還元により、|Per(A)|やPer(A)²を任意の多項式的要因の範囲で近似することも#P困難であることが示された。
• この構成は自己完結的であり、量子計算の普遍性の証明やゲート構成（例：CSIGNゲートからToffoliゲートを構成する方法）が論文内に含まれている。
• サイクルカバー や 組合せ的ガジェット に依存せず、ヴァリオンの元々の証明とは異なり、物理的根拠に基づいた代替的証明を提供している。