[論文レビュー] A linear-time algorithm for the geodesic center of a simple polygon

Hee-Kap Ahn, Luis Barba+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2015

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、n頂点を持つ単純多角形の測地的中心を計算する最初の線形時間アルゴリズムを提示する。O(n)の時間計算量を達成し、1989年にPollackらが提唱したO(n log n)のアルゴリズム以来長年の未解決問題を解消した。本手法は、平面カット、ε-ネット、およびO(n)個の頂点付き三角関数の上側包絡線計算を組み合わせ、反復毎に探索空間を再帰的に縮小しながら線形時間の作業を維持する。

ABSTRACT

Given two points in a simple polygon $P$ of $n$ vertices, its geodesic distance is the length of the shortest path that connects them among all paths that stay within $P$. The geodesic center of $P$ is the unique point in $P$ that minimizes the largest geodesic distance to all other points of $P$. In 1989, Pollack, Sharir and Rote [Disc. \& Comput. Geom. 89] showed an $O(n\log n)$-time algorithm that computes the geodesic center of $P$. Since then, a longstanding question has been whether this running time can be improved (explicitly posed by Mitchell [Handbook of Computational Geometry, 2000]). In this paper we affirmatively answer this question and present a linear time algorithm to solve this problem.

研究の動機と目的

• 単純多角形の測地的中心が線形時間で計算可能かどうかという長年の未解決問題を解消すること。
• 1989年にPollack, Sharir, Roteが確立したO(n log n)時間の上限を改善すること。
• 三角形分割に基づく反復的精錬に依存せず、幾何的カットと関数包絡線を用いて効率的な探索を実現する手法を開発すること。
• 各再帰的段階で問題のサイズを定数倍の割合で縮小することで、測地的中心がO(n)時間で計算可能であることを証明すること。

提案手法

• アルゴリズムは、多角形内での最遠点測地的距離関数F_P(x)と一致する上側包絡線を持つO(n)個の頂点付き三角関数を構築する。
• 弦の境界と頂点付き三角形間の分離平面から導かれるO(n)個の平面を用いた平面カットを用いて、探索空間を分割する。
• ε-ネットに基づく技術により、各再帰的段階で有効な関数の数と候補領域のサイズが定数倍の割合で減少する。
• メギドのアイデアにインspiredされた、平面における制限付き最適化に基づく側決定アルゴリズムにより、測地的中心がどの平面の側にあるかを特定する。
• 再帰が、定数サイズの領域または1つの三角形に縮小された段階で終了し、その時点で凸最適化を適用して最小値を求める。
• 全体の再帰式T(m) = T(3m/4) + O(m)はO(m)に解け、m = O(n)であるため、全体の時間計算量はO(n)となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純多角形の測地的中心は、1989年のO(n log n)の上限を上回る線形時間で計算可能か？
• RQ2 三角形分割に基づく探索構造に依存せず、幾何的カットを用いて問題のサイズを縮小することは可能か？
• RQ3 最遠点測地的距離関数は、O(n)個の三角関数の上側包絡線として表現可能で、効率的な最小化が可能か？
• RQ4 平面カットを用いて3次元空間での再帰的探索をガイドするための側決定手順を効率的に実装する方法は何か？

主な発見

• 任意のn頂点を持つ単純多角形の測地的中心は、O(n)時間で計算可能であり、本問題に対する最初の線形時間解法を達成した。
• アルゴリズムは、平面カットとε-ネットに基づく新規なアプローチを用い、各反復で有効な関数数と候補領域サイズを定数倍の割合で縮小する。
• F_P(x)と一致する上側包絡線を持つO(n)個の頂点付き三角関数を構築することで、有界領域内での区分的凸関数の最小化問題に帰着される。
• 側決定アルゴリズムにより、平面のどの側に測地的中心があるかを効率的に特定でき、3次元空間における再帰的精錬が可能になる。
• 再帰的縮小により再帰式T(m) = T(3m/4) + O(m)が得られ、これはO(m)に解ける。これにより、全体の線形時間計算量が証明される。
• 従来のアプローチのO(n log n)のボトルネックを回避するため、三角形分割上の弦オラクル探索を、より効率的な幾何的分解に置き換えた。