[論文レビュー] A Liouville Theorem for the Fractional Laplacian

Ran Zhuo, Wenxiong Chen+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 12被引用数 38

ひとこと要約

本稿は、分数ラプラシアンに対するリウヴィルの定理を確立し、$×^n$（$n \geq 2$）における任意の非負な $\alpha$-調和関数が定数であることを証明することで、古典的なリウヴィルの定理を非局所作用素へと拡張する。この結果は、半線形擬微分方程式とその対応する積分方程式の間の同値性を示すために応用され、強い正則性仮定を必要としないより強い解の定性的性質を導くことができる。

ABSTRACT

We extend the classical Liouville Theorem from Laplacian to the fractional Laplacian, that is, we prove Every $α$-harmonic function bounded either above or below in all of $R^n$ must be constant.

研究の動機と目的

• 調和関数に対する古典的なリウヴィルの定理を、非局所作用素である分数ラプラシアンへと拡張すること。
• $×^n$（$n \geq 2$）において上または下に有界な任意の $\alpha$-調和関数が定数であることを証明すること。
• 半線形擬微分方程式 $(-Δ)^{\alpha/2}u = u^p$ とその積分形 $u(x) = \int_{\u00d7^n} \frac{c_n}{|x-y|^{n-\alpha}} u^p(y) dy$ の間の同値性を確立すること。
• この同値性を用いて、従来の研究よりも弱い可積分性仮定のもとで、分数ラン・エムデン方程式の解のより強い定性的性質を導出すること。

提案手法

• 外部領域 $B_k$ におけるポisson核を用いて $u$ を切り詰め・拡張した $u_k(x)$ を定義し、$k \to \infty$ のとき $u_k$ が $u$ を近似するようにし、$u_k$ が $B_k$ 外部で $\alpha$-調和であることを保証する。
• 分数ラプラシアンの弱形式を用い、平均がゼロである滑らかで compact な台を持つ関数 $\psi$ をテスト関数として選び、積分表現におけるキャンセルを活用する。
• $w_R = u - v_R$ に最大原理を適用し、$v_R$ を $B_R$ におけるグリーン関数解とする。これにより $w_R \geq 0$ が得られ、したがって $u \geq v_R$ が導かれる。
• $R \to \infty$ の極限を取ることで $u(x) \geq \int_{\u00d7^n} \frac{c_n}{|x-y|^{n-\alpha}} u^p(y) dy$ を得る。さらに背理法を用いて等号が成り立つことを示す。
• リウヴィルの定理を用いて、$u$ と積分作用素との差が定数であることを結論づけ、発散を避けるためにこの定数がゼロでなければならないことを示す。
• 同値性の結果と [CLO] 及び [CLO1] における積分方程式の解の分類結果を組み合わせることで、元のPDEにおける解の鋭い定性的性質を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 調和関数に対する古典的なリウヴィルの定理は、非局所作用素である分数ラプラシアンへと拡張可能か？
• RQ2 非局所作用素であるにもかかわらず、$\u00d7^n$（$n \geq 2$）における任意の非負な $\alpha$-調和関数が定数であることを証明できるか？
• RQ3 $\u00d7^n$ において、半線形分数マクロPDE $(-\Delta)^{\alpha/2}u = u^p$ とその積分表現との間に同値性が存在するか？
• RQ4 従来の研究よりも弱い仮定のもとで、積分方程式の解の分類をPDEの設定へと移行できるか？

主な発見

• $\u00d7^n$（$n \geq 2$）における任意の非負な $\alpha$-調和関数は定数である。これは非局所版のリウヴィルの定理を証明する。
• 分数PDE $(-\Delta)^{\alpha/2}u = u^p$ は、$L_\alpha$ 内の非負な強い解について、積分方程式 $u(x) = \int_{\u00d7^n} \frac{c_n}{|x-y|^{n-\alpha}} u^p(y) dy$ と同値である。
• 臨界ケース $p = \frac{n+\alpha}{n-\alpha}$ において、すべての非負解は $u(x) = c\left(\frac{t}{t^2 + |x - x_0|^2}\right)^{(n-\alpha)/2}$ の形（$t > 0$, $x_0 \in \u00d7^n$）に表される。
• 亜臨界ケース $1 < p < \frac{n+\alpha}{n-\alpha}$ において、唯一の非負解は $u \equiv 0$ である。
• 従来の研究で要求された $H^{\alpha/2}$ 正則性よりも弱い仮定 $u \in L_\alpha$ のもとでも、結果が成り立つ。
• 有界性や追加の正則性を仮定せず、従来の手法よりも広いクラスの解に適用可能である。