[論文レビュー] A Lipschitz stable reconstruction formula for the inverse problem for the wave equation

Shitao Liu, Lauri Oksanen|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2012

Numerical methods in inverse problems参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、境界制御法と複素幾何学的解法のハイブリッドを用いて、逆波動速度問題に対するグローバルに再構成可能で、局所的にリプシッツ安定な公式を提示する。幾何的条件として、リーマン多様体 $ (M, c^{-2}dx^2) $ 上に臨界点のない厳密に凸な関数が存在する場合、$ c^{-2} $ の低周波成分がリプシッツ安定に再構成可能であることが確立される。

ABSTRACT

We consider the problem to reconstruct a wave speed $c \in C^\infty(M)$ in a domain $M \subset \R^n$ from acoustic boundary measurements modelled by the hyperbolic Dirichlet-to-Neumann map $Λ$. We introduce a reconstruction formula for $c$ that is based on the Boundary Control method and incorporates features also from the complex geometric optics solutions approach. Moreover, we show that the reconstruction formula is locally Lipschitz stable for a low frequency component of $c^{-2}$ under the assumption that the Riemannian manifold $(M, c^{-2} dx^2)$ has a strictly convex function with no critical points. That is, we show that for all bounded $C^2$ neighborhoods $U$ of $c$, there is a $C^1$ neighborhood $V$ of $c$ and constants $C, R > 0$ such that |\F\ll( ilde c^{-2} - c^{-2} r)(ξ)| \le C e^{2R |ξ|} orm{ ilde Λ- Λ}_*, \quad ξ\in \R^n, for all $ ilde c \in U \cap V$, where $ ilde Λ$ is the Dirichlet-to-Neumann map corresponding to the wave speed $ ilde c$ and $ orm{\cdot}_*$ is a norm capturing certain regularity properties of the Dirichlet-to-Neumann maps.

研究の動機と目的

• 境界データからの波動速度 $ c $ の回復という逆問題に対して、グローバルに再構成可能な手法の開発を目的とする。
• 通常の逆波動問題における対数的または Hölder 型の安定性に比べ、$ c^{-2} $ の再構成に対して局所的リプシッツ安定性を達成することを目的とする。
• リーマン多様体 $ (M, c^{-2}dx^2) $ 上に臨界点のない厳密に凸な関数の存在によって特徴づけられる、安定観測可能性という幾何的条件に基づく安定性の確立を目的とする。
• 境界制御法と複素幾何学的解法の間のギャップを埋め、より強い安定性推定を得ることを目的とする。
• 非線形ランドウェーバー反復法による効率的な数値的反転の基盤を提供することを目的とし、線形収束を保証するためにはリプシッツ安定性が必要である。

提案手法

• 境界制御法と形態 $ e^{i( ho + i heta)ullet x/2} $ の複素幾何学的解法（CGO）を組み合わせ、再構成公式を構築する。ここで $ | ho| = | heta| $、$ ho ot heta $ である。
• 波動速度をプローブするために調和指数関数をテスト解として用い、その振動構造を活用して $ c^{-2} $ に関する情報を抽出する。
• コンact多様体上での観測可能性推定とエネルギー制御（Friedrichsの不等式）を組み込んだ、境界制御法の修正版を適用する。
• Dirichlet-to-Neumann作用素上のノルム $ orm{ullet}_{*} $ を定義し、$ orm{ullet}_{L^2} $、$ orm{ullet}_{H^1} $、および因果的反射作用素 $ ilde{ ho} $ を組み合わせて、正則性と安定性を捉える。
• フーリエ領域における再構成誤差の事前境界を用いて安定性を確立する：$ | ilde{F}( ilde{c}^{-2} - c^{-2})( ho)| riangleq \text{const} \times e^{2R| ho|} \norm{\tilde{\rho} - \rho}_{*} $、$ \tilde{c} $ が $ C^2 $-近傍内にある場合。
• リーマン多様体 $ (M, c^{-2}dx^2) $ 上に臨界点のない厳密に凸な関数 $ \rho $ の存在に依存しており、これにより安定観測可能性と $ c $ の近傍における幾何的量の一様な境界が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 波動速度 $ c $ のグローバル再構成公式は、Dirichlet-to-Neumannマップの小さな摂動に対しても安定に構築可能か？
• RQ2 通常の対数的または Hölder 型の安定性に代えて、逆波動問題に対して局所的リプシッツ安定性を達成することは可能か？
• RQ3 リーマン多様体 $ (M, c^{-2}dx^2) $ にどのような幾何的条件が、このようなリプシッツ安定性を保証するのに十分か？
• RQ4 境界制御法に複素幾何学的解法を統合することで、安定性と再構成品質をどのように向上できるか？
• RQ5 提案された再構成公式は、非線形ランドウェーバー反復法のような反復解法において収束保証を可能にするか？

主な発見

• 本稿では、境界制御法と複素幾何学的解法のハイブリッドを用いて、$ c^{-2} $ のグローバルに再構成可能な公式を確立する。
• 安定観測可能性（$ (M, c^{-2}dx^2) $ 上に臨界点のない厳密に凸な関数の存在）の仮定のもと、再構成は局所的にリプシッツ安定である。
• 特に、有界な $ C^2 $-近傍 $ U $ 内のすべての $ \tilde{c} $ および $ c $ の $ C^1 $-近傍 $ V $ に対して、すべての $ \rho \neq 0 $ に対して不等式 $ |\tilde{F}(\tilde{c}^{-2} - c^{-2})(\rho)| \triangleq Ce^{2R|\rho|} \norm{\tilde{\rho} - \rho}_{*} $ が成り立つ。ここで $ C, R > 0 $ である。
• ノルム $ \norm{\bullet}_{*} $ はDirichlet-to-Neumannマップの正則性を捉えており、安定性の定量的評価に不可欠である。
• この結果は、逆問題が非線形ランドウェーバー反復法による効率的な数値的解法に適していることを示唆しており、リプシッツ安定性のもとで線形収束が保証される。
• 安定性結果は、幾何的仮定なしにはリプシッツ安定性が成り立たないことを示す反例（StefanovとUhlmannによる、閉じた測地線の存在）によって、鋭いものである。