[論文レビュー] A local-global principle for preordered semirings and abstract Positivstellens\"atze

T. A. Fritz|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2020

Advanced Topology and Set Theory参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、実スペクトルの点の無限小近傍を調べるテスト代数へのホモモーティズムを通じて、代数的順序構造と幾何的順序を結びつける、順序付き半環における局所的・大域的原理を確立する。主な貢献は、半体における抽象的非アルキメデス的ポジティブステルンサッツであり、半体の順序がその全順序拡張の共通部分集合に等しいことを示しており、さらに準順序環の基礎的発展およびランダムウォークの漸近的分類への応用を含む。

ABSTRACT

Motivated by trying to find a new proof of Artin's theorem on positive polynomials, we state and prove a Positivstellensatz for preordered semirings in the form of a local-global principle. It relates the given algebraic order on a suitably well-behaved semiring to the geometrical order defined in terms of a probing by homomorphisms to test algebras. We introduce and study the latter as structures intended to capture the behaviour of a semiring element in the infinitesimal neighbourhoods of a real point of the real spectrum. As first applications of our local-global principle, we prove two abstract non-Archimedean Positivstellensatze. The first one is a non-Archimedean generalization of the classical Positivstellensatz of Krivine-Kadison-Dubois, while the second one is deeper. A companion paper will use our second Positivstellensatz to derive an asymptotic classification of random walks on locally compact abelian groups. As an important intermediate result, we develop an abstract Positivstellensatz for preordered semifields which states that a semifield preorder is always the intersection of its total extensions. We also introduce quasiordered rings and develop some of their theory. While these are related to Marshall's $T$-modules, we argue that quasiordered rings offer an improved definition which puts them among the basic objects of study for real algebra.

研究の動機と目的

• 順序付き半環における代数的順序と、テスト代数へのホモモーティズムによって定義される幾何的順序を結びつける局所的・大域的原理の構築。
• 古典的ポジティブステルンサッツ、特にクリヴィン＝カディソン＝デュボアの定理を、抽象的代数的手法を用いて非アルキメデス的設定に一般化すること。
• 半体における順序が、その全順序拡張の共通部分集合に等しいことを示し、抽象的実代数の基礎的結果を確立すること。
• マルシャールのT-モジュールのより洗練された代替としての準順序環を導入し、実代数における中心的対象として位置づけること。
• 将来の応用、特に局所コンパクトアーベル群上のランダムウォークの漸近的分類のための土台を築くこと。

提案手法

• 良好に振る舞う半環における代数的順序と、テスト代数へのホモモーティズムによって誘導される幾何的順序を関連付けることで、局所的・大域的原理を定式化する。
• テスト代数を、実スペクトルの点の近傍における半環の元の挙動をモデル化する構造として定義する。
• 抽象的な順序論的および代数的技法を用いて、半体における順序がその全順序拡張の共通部分集合に等しいことを証明する。
• T-モジュールの一般化としての準順序環を導入し、実代数的応用においてより優れた構造的性質を有するようにする。
• 局所的・大域的原理を応用して、2つの抽象的非アルキメデス的ポジティブステルンサッツを導出する。そのうちの1つは、クリヴィン＝カディソン＝デュボアの定理を一般化する。
• 2番目のポジティブステルンサッツを、局所コンパクトアーベル群上のランダムウォークの漸近的分類を扱う補足論文の土台として用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 順序付き半環における代数的順序と幾何的順序を結びつける局所的・大域的原理は、どのように定式化できるか？
• RQ2 抽象的実代数の文脈において、半体における順序とその全順序拡張との正確な関係は何か？
• RQ3 古典的クリヴィン＝カディソン＝デュボアのポジティブステルンサッツは、抽象的代数的構造を用いて非アルキメデス的設定にどのように一般化できるか？
• RQ4 準順序環は、実代数における基礎的対象としてのマルシャールのT-モジュールに比べて、どのような点で改善されているか？
• RQ5 テスト代数が、実スペクトルの点における半環の元の無限小挙動をどのように捉えられる構造的性質を有するか？

主な発見

• 半体における順序は、まさにその全順序拡張の共通部分集合に等しく、抽象的実代数における根本的な特徴付けを確立する。
• 局所的・大域的原理は、順序付き半環における代数的順序と、テスト代数へのホモモーティズムによって定義される幾何的順序を的確に結びつけることに成功した。
• 非アルキメデス的設定に一般化された抽象的ポジティブステルンサッツが証明され、古典的クリヴィン＝カディソン＝デュボアの定理が非アルキメデス的状況へと拡張された。
• 準順序環は、実代数的構造を研究するためのより洗練され、自然な枠組みとしてT-モジュールの代替として導入された。
• この枠組みにより、順序付き半環のより深い構造的理解が可能となり、将来的な応用、例えば局所コンパクトアーベル群上のランダムウォークの漸近的分類のための道具が得られた。