[論文レビュー] A local limit theorem for random walks in random scenery and on randomly oriented lattices

Fabienne Castell, Nadine Guillotin‐Plantard+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 36被引用数 30

ひとこと要約

本稿は、確率的散歩の確率的散景（RWRS）および確率的に向き付けられた格子上での確率的散歩に対して、局所中心極限定理を確立し、$\mathbb{P}(Z_n = \lfloor n^\delta x \rfloor)$ の漸近的挙動を $n \to \infty$ において証明している。ここで $\delta = 1 - \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\alpha\beta}$ であり、ステップ分布および散景分布が安定分布（指数 $\alpha, \beta \in (0,2]$）の吸引域にあると仮定する。主な結果は、安定過程に関連する密度への収束を示し、機能的中心極限定理を局所確率スケールに拡張するものである。

ABSTRACT

Random walks in random scenery are processes defined by $Z_n:=\\sum_{k=1}^n\\xi_{X_1+...+X_k}$, where $(X_k,k\\ge 1)$ and $(\\xi_y,y\\in\\mathbb Z)$ are two independent sequences of i.i.d. random variables. We assume here that their distributions belong to the normal domain of attraction of stable laws with index $\\alpha\\in (0,2]$ and $\\beta\\in (0,2]$ respectively. These processes were first studied by H. Kesten and F. Spitzer, who proved the convergence in distribution when $\\alpha\ eq 1$ and as $n\ o \\infty$, of $n^{-\\delta}Z_n$, for some suitable $\\delta>0$ depending on $\\alpha$ and $\\beta$. Here we are interested in the convergence, as $n\ o \\infty$, of $n^\\delta{\\mathbb P}(Z_n=\\lfloor n^{\\delta} x\ floor)$, when $x\\in \\RR$ is fixed. We also consider the case of random walks on randomly oriented lattices for which we obtain similar results.

研究の動機と目的

• ステップ分布および散景分布が安定分布の吸引域にある場合の、確率的散歩の確率的散景（RWRS）における局所中心極限定理の確立。
• KestenおよびSpitzerの機能的中心極限定理を、局所確率スケールに拡張し、$n \to \infty$ における $\mathbb{P}(Z_n = \lfloor n^\delta x \rfloor)$ の漸近的挙動を特定すること。
• 確率的散歩が確率的に向き付けられた格子上にある場合の解析を行い、同様の局所中心極限定理を証明すること。

提案手法

• 解析は、$Z_n = \sum_y \xi_y N_n(y)$ の表現に依拠しており、ここで $N_n(y)$ はサイト $y$ におけるランダムウォークの局所時刻であり、スケーリングされた局所時刻と散景過程の同時収束を用いる。
• スケーリング極限 $n^{-\delta}Z_{nt} \Rightarrow \Delta(t)$ を用い、ここで $\Delta(t) = \int_{-\infty}^{\infty} L_t(x) \, dY(x)$ であり、$L_t(x)$ は安定Lévy過程の局所時刻、$Y(x)$ は安定増分を持つLévy過程である。
• 主要な技術的道具は、ランダムウォークの範囲 $R_n$ に対するモーメントバウンドおよび集中不等式であり、特に $\mathbb{P}(\mathcal{R}_n) = 1 - \mathcal{O}(\exp(-Cn^\gamma))$ を証明し、$\gamma \in (0,1/\alpha)$ に対して、範囲の典型挙動を保証する。
• 大偏差を制御するために、尾確率 $\mathbb{P}(R_n \geq a+b) \leq \mathbb{P}(R_n \geq a)\mathbb{P}(R_n \geq b)$ の乗法的性質を用いる。
• 下側尾根に対しては、互いに素な区間への分解とi.i.d. ブロック推定を用い、$\mathbb{P}(R_n \leq \mathbb{E}[R_n]n^{-\gamma})$ を評価し、範囲がその平均のまわりに集中することを示し、指数的減衰を導出する。
• 結果は、同じスケーリングおよび安定性仮定の下で、向き付けられた設定に適応した同様の集中技術を用いて、確率的に向き付けられた格子上へのランダムウォークへと拡張される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 i.i.d. 増分および安定分布の吸引域にある散景を持つ確率的散歩の確率的散景において、$n \to \infty$ のときの局所確率 $\mathbb{P}(Z_n = \lfloor n^\delta x \rfloor)$ の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ2 スケーリング指数 $\delta$ は何か？ ここで $n^\delta \mathbb{P}(Z_n = \lfloor n^\delta x \rfloor)$ が非退化密度に収束する。
• RQ3 安定分布仮定が同様に成り立つ場合、確率的に向き付けられた格子上でのランダムウォークに対しても局所中心極限定理は拡張可能か？
• RQ4 ランダムウォークの範囲 $R_n$ の集中性は、$Z_n$ の局所中心極限定理挙動にどのように影響するか？
• RQ5 $Z_n$ の有限次元分布の収束を、密度における局所収束に強化することは可能か？

主な発見

• 本稿は、$n^\delta \mathbb{P}(Z_n = \lfloor n^\delta x \rfloor)$ が、$\delta = 1 - \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\alpha\beta}$ に対して、安定過程 $\Delta(t)$ の密度に比例する密度に収束することを確立した。ここで $\alpha > 1$ である。
• $\alpha < 1$ の場合、スケーリングは $n^{1/\beta}$ であり、極限局所確率は安定過程 $Y(t)$ および期待総局所時刻 $\mathbb{E}[\widetilde{N}_\infty(0)]^{1/\beta}$ に関連する。
• 集中結果 $\mathbb{P}(\mathcal{R}_n) = 1 - \mathcal{O}(\exp(-Cn^\gamma))$ は、任意の $\gamma \in (0,1/\alpha)$ に対して成り立ち、範囲 $R_n$ が通常その平均の多項式的要因の範囲内にあることを保証する。
• 上側尾根は乗法的性質およびマーカフ型不等式を用いて制御され、$n$ が十分に大きい場合に $\mathbb{P}(R_n \geq \mathbb{E}[R_n]n^\gamma) \leq \exp(-Cn^\gamma)$ を得る。
• 下側尾根は区間分解とi.i.d. ブロック解析を用いて評価され、$\mathbb{P}(R_n \leq \mathbb{E}[R_n]n^{-\gamma}) \leq \mathbb{P}(R_{l_n} \leq \mathbb{E}[R_{l_n}]/2)^N$ とし、$N \sim c n^{\gamma}$ とし、確率が指数的に減少することを示す。
• 結果は、同じスケーリングおよび安定性仮定の下で、確率的に向き付けられた格子上へのランダムウォークへと拡張され、同様の局所中心極限定理が確立された。