[論文レビュー] A Local Spectral Method for Graphs: with Applications to Improving Graph Partitions and Exploring Data Graphs Locally

Michael W. Mahoney, Lorenzo Orecchia+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2009

Complex Network Analysis Techniques被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、グラフラプラシアンのグローバルな2番目の固有ベクトルを一般化し、シード集合の周囲の局所構造に注目する、局所的に偏ったスペクトル手法を提案する。局所性制約を含むスペクトル最適化問題に再定式化することで、ほぼ線形時間で計算可能なベクトルが得られ、局所的なクラスターやスパースカットを明らかにする。これにより、データグラフの効率的で半教師付きの探索が可能になる。

ABSTRACT

The second eigenvalue of the Laplacian matrix and its associated eigenvector are fundamental features of an undirected graph, and as such they have found widespread use in scientific computing, machine learning, and data analysis. In many applications, however, graphs that arise have several \\emph{local} regions of interest, and the second eigenvector will typically fail to provide information fine-tuned to each local region. In this paper, we introduce a locally-biased analogue of the second eigenvector, and we demonstrate its usefulness at highlighting local properties of data graphs in a semi-supervised manner. To do so, we first view the second eigenvector as the solution to a constrained optimization problem, and we incorporate the local information as an additional constraint; we then characterize the optimal solution to this new problem and show that it can be interpreted as a generalization of a Personalized PageRank vector; and finally, as a consequence, we show that the solution can be computed in nearly-linear time. In addition, we show that this locally-biased vector can be used to compute an approximation to the best partition \\emph{near} an input seed set in a manner analogous to the way in which the second eigenvector of the Laplacian can be used to obtain an approximation to the best partition in the entire input graph. Such a primitive is useful for identifying and refining clusters locally, as it allows us to focus on a local region of interest in a semi-supervised manner. Finally, we provide a detailed empirical evaluation of our method by showing how it can applied to finding locally-biased sparse cuts around an input vertex seed set in social and information networks.

研究の動機と目的

• グローバルなスペクトル手法が、特に注目領域が小さいか局部的である場合に、局所的グラフ構造を検出できないという限界を克服すること。
• シード集合を通じて局所的情報を組み込むスペクトル手法を開発し、データグラフの半教師付き解析を可能にすること。
• グローバル固有ベクトルの理論的裏付けと計算効率の両方を備えた、局所的クラスタリングおよびカット検出の代替手法を提供すること。
• 局所的に偏ったベクトルが、導出率の境界やランダムウォークの混合時間推定といった、主要なスペクトル的性質を保持していることを示すこと。
• 大規模なソーシャルネットワークや情報ネットワークにおけるコミュニティ構造の探索や、グラフ分割の最適化といった実用的応用を可能にすること。

提案手法

• 解決すべき最適化問題を、与えられたシード集合または頂点上の分布と強く相関するよう、局所性制約を追加することで、グローバルなスペクトル最適化問題を再定式化する。
• 得られる最適化問題（LocalSpectral）は、正規化されたノルムとシード集合を含む相関制約の下で、グラフラプラシアンの二次形式を最小化することと等価であることが示される。
• 最適解は一般化されたパーソナライズドページランクベクトルとして特徴付けられ、線形方程式系の解法により効率的に計算可能である。
• 反復的ソルバーを用いることで、ほぼ線形時間で解を計算でき、大規模グラフへのスケーラビリティを実現する。
• 解は導出率と混合時間に関する理論的境界を提供し、局所構造とスペクトル的性質の関係を結びつける。
• スイープカット手順を用いて、グローバルなスペクトル手法と同様に、局所的に偏ったスパースカットを抽出可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトル手法を、グローバルな性質ではなく、局所的グラフ構造に注目するように適合させることは可能か？
• RQ2 主要なスペクトル的性質を保持しつつ、局所的に偏った固有ベクトルを効率的に定義・計算する方法は何か？
• RQ3 この新手法は、現実のグラフにおいて、局所的クラスターやスパースカットを検出する点で、グローバルなスペクトル手法を上回ることができるか？
• RQ4 このような局所的に偏ったベクトルを計算する計算量の複雑さは何か？ ほぼ線形時間で計算可能か？
• RQ5 局所的に偏ったベクトルは、既存のカット最適化やコミュニティ検出アルゴリズムとどのように関係しているか？

主な発見

• LocalSpectral問題の最適解は、ほぼ線形時間で計算可能であり、大規模グラフに対してもスケーラブルである。
• 解は数学的に一般化されたパーソナライズドページランクベクトルと等価であり、よく知られたランダムウォークベースの手法と関連づけられる。
• 解は、シードベクトルとの相関に基づいて、カットの導出率の下界を提供し、局所的スパarsityに関する理論的保証を可能にする。
• この手法により、与えられたシード集合の周囲に局所的に偏ったスパースカットを効果的に特定でき、グローバルなスペクトル手法よりも局所的最適化タスクで優れた性能を示す。
• 実験的評価により、この手法はソーシャルネットワークや情報ネットワークにおける局所的コミュニティの特定や、分割の最適化に有効に機能することが示された。
• 画像セグメンテーションタスクへの応用でも、少数のラベル付きピクセルを用いて関心領域を局所化するのに成功した。