[論文レビュー] A local systolic-diastolic inequality in contact and symplectic geometry

Gabriele Benedetti, Jungsoo Kang|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2018

Geometric and Algebraic Topology被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、閉じた3次元多様体上のZoll接触形式および奇対称形式に対して、局所的な周期的・非周期的不等式を確立する。Zoll接触形式 $\alpha_*$ の $C^3$-近傍 $\mathcal{U}$ において、接触体積が $t_\Sigma T_{\min}(\alpha)^2$ と $t_\Sigma T_{\max}(\alpha)^2$ の間で有界であり、等号が成り立つのは $\alpha$ がZollである場合に限ることを証明する。この結果は、体積-作用多項式関係を介して奇対称形式へ一般化され、既知の周期的不等式が回復されるとともに、磁気測地線へ拡張される。

ABSTRACT

Let $Σ$ be a connected closed three-manifold, and let $t_Σ$ be the order of the torsion subgroup of $H_1(Σ;\mathbb Z)$. For a contact form $α$ on $Σ$, we denote by $\mathrm{Volume}(α)$ the contact volume of $α$, and by $T_{\min}(α)$ and $T_{\max}(α)$ the minimal period and the maximal period of prime periodic orbits of the Reeb flow of $α$ respectively. We say that $α$ is Zoll if its Reeb flow generates a free $S^1$-action on $Σ$. We prove that every Zoll contact form $α_*$ on $Σ$ admits a $C^3$-neighbourhood $\mathcal U$ in the space of contact forms such that \[ t_ΣT_{\min}(α)^2\leq \mathrm{Volume}(α)\leq t_ΣT_{\max}(α)^2,\qquad \forall\,α\in\mathcal U, \] and any of the equalities holds if and only if $α$ is Zoll. We extend the above picture to odd-symplectic forms $Ω$ on $Σ$ of arbitrary odd dimension. We define the volume of $Ω$, which generalises both the contact volume and the Calabi invariant of Hamiltonian functions, and the action of closed characteristics of $Ω$, which generalises both the period of periodic Reeb orbits and the action of fixed points of Hamiltonian diffeomorphisms. We say that $Ω$ is Zoll if its characteristics are the orbits of a free $S^1$-action on $Σ$. We prove that the volume and the action of a Zoll odd-symplectic form satisfy a certain polynomial equation. This builds the equality case of a conjectural local systolic-diastolic inequality for odd-symplectic forms, which we establish in some cases. This inequality recovers the inequality between the minimal action and the Calabi invariant of Hamiltonian isotopies $C^1$-close to the identity on a closed symplectic manifold, as well as the local contact systolic-diastolic inequality above. Finally, applications to magnetic geodesics are discussed.

研究の動機と目的

• 閉じた3次元多様体上のZoll接触形式に対して、接触体積が最小および最大のリーブ周期と関係づけられる局所的周期的・非周期的不等式を確立すること。
• 接触形式から奇対称形式への周期的・非周期的枠組みの一般化を、任意の奇次元に対して行い、接触体積およびCalabi不変量の両方を一般化すること。
• 奇対称形式に対して一般化された体積と作用を定義し、Zoll奇対称形式がこれらの不変量を結ぶ多項式方程式を満たすことを証明すること。
• 既知の周期的不等式（恒等写像に $C^1$-近いハミルトニアン同倫写像や、局所的接触周期的不等式など）を、提案された不等式の特別な場合として回復すること。
• この枠組みを、閉じた3次元多様体上の磁気測地線への応用を検討すること。

提案手法

• ハミルトニアン関数のCalabi不変量および接触体積の一般化として、奇対称形式 $\Omega$ の体積を定義する。
• 閉じた特徴的曲線の作用を定義し、リーブ周期とハミルトニアン同倫写像の固定点作用の両方を一般化する。
• Zoll奇対称形式 $\Omega$ に対して、体積と作用が、ねじれ位数 $t_\Sigma$ に依存する係数を持つ多項式方程式を満たすことを証明する。
• Zoll接触形式 $\alpha_*$ の周囲に $C^3$-近傍 $\mathcal{U}$ を構成し、すべての $\alpha \in \mathcal{U}$ に対して $t_\Sigma T_{\min}(\alpha)^2 \leq \mathrm{Volume}(\alpha) \leq t_\Sigma T_{\max}(\alpha)^2$ が成り立つことを確立する。
• リーブフローと $S^1$-作用の構造を用いて、等号が成り立つのは $\alpha$ がZollである場合に限ることを示す。
• この枠組みを用いて、閉じたシンプレクティック多様体上の恒等写像に $C^1$-近いハミルトニアン同倫写像に対する局所的周期的・非周期的不等式を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Zoll接触形式について、$C^3$-近傍内に周期的・非周期的不等式が成り立つのか。その境界はねじれ位数と最小・最大のリーブ周期とに関係するのか。
• RQ2 接触形式から奇対称形式への体積と作用の概念を、奇次元多様体上に一般化でき、接触およびハミルトニアン不変量を統合できるか。
• RQ3 Zoll奇対称形式は、その体積と閉じた特徴的曲線の作用との間に多項式関係を満たすか。
• RQ4 提案された不等式は、シンプレクティック多様体上で恒等写像に $C^1$-近いハミルトニアン同倫写像に対する既知の局所的周期的不等式を特殊ケースとして回復できるか。
• RQ5 この枠組みは、閉じた3次元多様体上の磁気測地線の力学にどのような意味を持つのか。

主な発見

• 閉じた3次元多様体 $\Sigma$ 上の任意のZoll接触形式 $\alpha_*$ に対して、$C^3$-近傍 $\mathcal{U}$ が存在し、すべての $\alpha \in \mathcal{U}$ に対して $t_\Sigma T_{\min}(\alpha)^2 \leq \mathrm{Volume}(\alpha) \leq t_\Sigma T_{\max}(\alpha)^2$ が成り立つ。
• 体積の境界における等号が成り立つのは $\alpha$ がZollである場合に限り、体積-作用比の極値性によってZoll形式が特徴づけられる。
• 奇対称形式に対して一般化された体積と作用は、形式がZollである場合に多項式方程式を満たす。これは、奇次元への周期的・非周期的原理の拡張である。
• この枠組みは、閉じたシンプレクティック多様体上で恒等写像に $C^1$-近いハミルトニアン同倫写像に対する局所的周期的・非周期的不等式を特別な場合として回復する。
• 本研究は、磁気測地線のための新しい幾何的不変量理論を提供し、その作用スペクトルが $t_\Sigma$ を介して底面の3次元多様体の位相と結びつく。
• 本稿は、奇対称形式に対する予想的な局所的周期的・非周期的不等式の等号成立条件を確立し、複数の状況で検証されている。