[論文レビュー] A local to global principle for densities over function fields

Giacomo Micheli|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、p進測度論を用いて関数体における部分集合の密度を計算するための局所的から大域的への原理を確立し、PoonenおよびStollの篩法を関数体へと拡張する。全分岐拡大の密度および長方形のユニモジュラー行列の密度に対して明示的な公式を導出し、後者の密度が関数体のゼータL多項式の有理関数であることを示す。

ABSTRACT

Let $d$ be a positive integer and $\mathbb H$ be an integrally closed subring of a global function field $F$. The purpose of this paper is to provide a general sieve method to compute densities of subsets of $\mathbb H^d$ defined by local conditions. The main advantage of the method relies on the fact that one can use results from measure theory to extract density results over $\mathbb H^{d}$. Using this method we are able to compute the density of the set of polynomials with coefficients in $\mathbb H$ which give rise to "good" totally ramified extensions of the global function field $F$. As another application, we give a closed expression for the density of rectangular unimodular matrices with coefficients in $\mathbb H$ in terms of the $L$-polynomial of the function field.

研究の動機と目的

• 関数体の整閉部分環における密度を計算する一般の篩法を開発すること。
• PoonenおよびStollのp進篩法を数体から関数体へ拡張すること。
• 関数体における「良い」全分岐拡大を導く多項式の密度を計算すること。
• 関数体の整閉部分環上でのk×mユニモジュラー行列の密度を特定すること。
• この密度の閉形式を関数体のL多項式の関数として与えること。

提案手法

• 特徴がホロモルフィー集合の外側に台を持つ正の除数からなる有向集合上のムーア＝スミス収束を用いて密度を定義する。
• 各場所P∈Sにおける局所的密度をp進測度論を用いて計算する。
• 積公式を用いて局所的から大域的への原理を確立する：D_S(U) = ∏_{P∈S} (1 - μ_P(U_P))。
• グローバル密度の計算を、極限条件（式2.1）が0に収束することの確認に還元する。これは多項式的に定義された局所的条件に対して証明される。
• リーマン＝ローチ空間L(D)をZ^dにおけるハイパーキューブの類似物として用い、漸近的密度を定義する。
• 定理2.3を適用して、各Pにおける非フルランク還元の測度を分析することにより、ユニモジュラー行列の収束条件を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p進解析および測度論を用いて、数体から関数体への局所的から大域的への密度の原理を拡張することは可能か？
• RQ2 関数体Fの整閉部分環H ⊂ Fに属する多項式のうち、「良い」全分岐拡大を導くものの密度は何か？
• RQ3 関数体のゼータ関数を用いて、H上でのk×mユニモジュラー行列の密度をどのように計算できるか？
• RQ4 篩法における極限がどのような条件下で消えるか？ これにより局所的から大域的への原理が成立する。
• RQ5 ユニモジュラー行列の密度は、関数体のL多項式の有理関数として表現可能か？

主な発見

• H^dに属する多項式の集合の密度で、『良い』全分岐拡大を導くものは、ホロモルフィー集合Sの各場所における積で与えられる。
• H上の長方形ユニモジュラー行列に関して、密度は明示的に ∏_{i=0}^{k-1} 1/ζ_H(m−i) として計算され、ここでζ_HはHのゼータ関数である。
• H = F_q[x]のとき、k×mユニモジュラー行列の密度は ∏_{i=m−k+1}^{m} (q^{i−1}−1)/q^{i−1} であり、これは有理数である。
• この方法により、極限条件（式2.1）が多項式的に定義された局所的条件に対して0に収束することを証明し、局所的から大域的への原理の正当性を裏付けた。
• 既知のZに対する結果を関数体へ拡張し、ユニモジュラー行列密度の閉形式表現を提供した。
• このアプローチはセールの予想およびグローバル体におけるユニモジュラー行に関する以前の結果と整合的である。