[論文レビュー] A local trace formula for Anosov flows (with an appendix by Frédéric Naud)

Long Jin, Frédéric Naud+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、アノソフフローにおける局所的トレース公式を確立し、ポリコット–ルイエ共振を閉じた軌道の周期および線形化されたポincare写像と関連付ける。任意の十分に広い帯域において、共振数関数が部分線形に増加することは不可能であり、これはコンパクト多様体上の任意のアノソフフローに対して無限個の共振が存在することを示唆する。

ABSTRACT

We prove a local trace formula for Anosov flows. It relates Pollicott--Ruelle resonances to the periods of closed orbits. As an application, we show that the counting function for resonances in a sufficiently wide strip cannot have a sublinear growth. In particular, for any Anosov flow there exist strips with infinitely many resonances.

研究の動機と目的

• アノソフフローにおける閉軌道の周期および線形化されたポincare写像と関連するポリコット–ルイエ共振を結びつける局所的トレース公式を確立すること。
• コンパクト多様体上のアノソフフローに対して、共振集合が常に無限であるかどうかという未解決の問題を解消すること。
• 帯域内の共振数関数が部分線形に増加することは不可能であり、無限個の共振が存在することを示すこと。
• 共振の和を、力学的データを伴った原始的周期軌道の和に結びつける分布的恒等式を提供すること。
• トレース公式における誤差項の解析接続を示し、複素平面上での成長を評価すること。

提案手法

• 分布的恒等式の形で局所的トレース公式を導出する：Im(μ) > -A を満たす共振μに関する和に e^{-iμt} を加えたものに、余剰分布 F_A(t) を加えたものが、T_γ^# および |det(I - P_γ)| を含む原始的周期軌道に関する和に等しい。
• リゾルベント (P - λ)^{-1} が C に正則に拡張可能であり、ポリコット–ルイエ共振がその極として定義されることを用いる。
• Dyatlov–Zworski による定義に従い、共振を P + iεΔ_g の固有値の極限 lim_{ε→0+} として定義する。
• 余剰分布 F_A のフーリエ変換が {Im(λ) < A} で正則であり、かつ Im(λ) < A - ε の範囲で O_A,ε(⟨λ⟩^{2n+1}) のオーダーで成長することを示す。
• ポアソン和公式およびサスペンションフローのトレース公式を用いて、線形アノソフ写像の実解析的摂動の場合に動的側を明示的に計算する。
• 転送作用素 T(f) = f∘F がトレースクラスであることと、トレース公式 ∑_{F^p x = x} |det(I - D_x F^p)|^{-1} = ∑_k e^{-ipλ_k} を用いて、トレース公式の動的側を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のアノソフフローに対して、共振と周期軌道を関連付ける局所的トレース公式を確立できるか？
• RQ2 ポリコット–ルイエ共振は常に帯域に集積するのか、それとも有限個に限る可能性があるか？
• RQ3 帯域内の共振数関数は必然的に部分線形に増加するのか、それとも少なくとも線形に増加する可能性があるか？
• RQ4 サスペンションフローのトレース公式の動的側を、アノソフ写像の上でのサスペンションに対して明示的に計算できるか？
• RQ5 一般的なアノソフ写像は、フローにおけるポリコット–ルイエ共振が無限個存在することを示唆するのか、すなわち水平方向の直線に無限個の共振が存在するのか？

主な発見

• 局所的トレース公式が確立された：(0,∞) 上の分布として、∑_{μ∈Res(P), Im(μ)>-A} e^{-iμt} + F_A(t) = ∑_{γ∈G} T_γ^# δ(t - T_γ) / |det(I - P_γ)| が成り立つ。
• 余剰分布 F_A は、{Im(λ) < A} で正則なフーリエ変換を持ち、Im(λ) < A - ε の範囲で O_A,ε(⟨λ⟩^{2n+1}) のオーダーで有界である。
• 任意の帯域 {Im(μ) > -A} における共振数関数は、r^δ (δ < 1) よりも速く増加することは不可能であり、これは無限個の共振が存在することを示唆する。
• 実解析的摂動を施した線形アノソフ写像のケースでは、サスペンションフローの共振は (2πj + λ_k)/r (j ∈ ℤ, k ∈ ℕ) として与えられ、複素平面上の格子をなす。
• 線形アノソフ写像（例：アーノルドの猫写像）の場合、ルイエ共振は 1 に集中し、共振は (2π/r)ℤ として、実数の離散的集合をなす。
• 本結果により、任意のコンパクト多様体上のアノソフフローに対して、本質的スペクトルギャップ ν_1 が有限であることが確認され、長年の未解決問題が解決された。