[論文レビュー] A local true Hamiltonian for the CGHS model in new variables

Saeed Rastgoo|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、共形変換を用いず、CGHSモデルを新しいAshtekar様変数で定式化し、ゲージ固定と lapse/shift の再スケーリングにより局所的真ハミルトニアンを導出する。これにより強いアーベル性を有する制約代数が得られ、ループ量子重力への応用が可能となり、真空中および物質カップリング系の両方に対して局所的運動方程式が得られる。

ABSTRACT

Following our previous work, a complete classical solution of the CGHS model in Hamiltonian formulation in new variables is given. We preform a series of analyses and transformations to get to the CGHS Hamiltonian in new variables from a generic class of two dimensional dilatonic gravitational systems coupled to matter. This gives us a second class system, a total Hamiltonian consisting of a Hamiltonian constraint, a diffeomorphism constraint and two second class constraints. We calculate the Dirac brackets, bring them to a standard form similar to the Poisson brackets by introducing a new variable. Then by rescaling lapse and shift, the Hamiltonian constraint is transformed into a form where it has an strong Abelian algebra with itself. This property holds both in vacuum case and in case with matter coupling. Then for each of the vacuum and the coupled-to-matter cases, we preform two gauge fixings, one set for each case, and solve the classical system completely in both cases. The gauge fixing of the case coupled to matter is done by implementing a method based on canonical transformation to a new set of variables and leads to a true local Hamiltonian. We also show that our formalism is consistent with the original CGHS paper by showing that the equations of motion are the same in both cases. Finally we derive the relevant surface term of the model.

研究の動機と目的

• 共形変換を避けて、幾何的意味を持つ新しいAshtekar様変数におけるCGHSモデルの再定式化。
• ハミルトニアン制約の強いアーベル代数を達成し、ループ量子重力の量子化に適した系とする。
• 正準ゲージ固定を用いて物質カップリングCGHSモデルの局所的真ハミルトニアンを導出する。
• 新しいハミルトニアン形式と元のCGHSラグランジアンの運動方程式が一致することを示し、等価性を確認する。
• 新しい形式における表面項を標準的なCGHS ADM質量境界項と比較する。

提案手法

• 物質を含む一般化された2次元ダイラトン重力作用素を導出し、CGHSモデルを特別な場合として含むが、ダイラトンの運動項を仮定しない。
• メトリック・テトラッドのラグランジュアンから新しい正準変数におけるハミルトニアン形式へのリーマン変換を実行する。
• CGHSモデルにAshtekar様変数を導入し、幾何的意味を保ちながら共形再定義を避ける。
• 第二種制約系に対するディラックの制約解析を実施し、ディラック括弧を計算し、新しい変数を用いてポアソン括弧形式に変換する。
• lapseとshiftを再スケーリングし、真空中および物質カップリング系の両方においてハミルトニアン制約が強くアーベル的（自己と可換）となるようにする。
• 正準変換を用いて、真空中と物質カップリング系の両方に対して、別個のゲージ固定を実装し、局所的真ハミルトニアンを達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共形変換を用いず、幾何的意味を保ったまま、CGHSモデルをAshtekar様変数で再定式化できるか？
• RQ2 lapseとshiftの再スケーリングにより、真空中および物質カップリング系の両方において、ハミルトニアン制約が強くアーベル的代数を形成するか？
• RQ3 正準ゲージ固定を用いて、物質カップリングCGHSモデルの局所的真ハミルトニアンを導出できるか？
• RQ4 新しいハミルトニアン形式の運動方程式は、元のCGHSラグランジアンの運動方程式と等価か？
• RQ5 新しい形式における表面項の形は何か？標準的なADM質量境界項と比べてどうなるか？

主な発見

• ハミルトニアン制約が、自己と可換となる形に変換され、構造定数を用いるリー代数構造を形成する。
• 物質カップリングCGHSモデルに対して、局所的真ハミルトニアンが成功裏に導出され、局所的運動方程式が保証され、量子化が容易になる。
• 新しい形式は元のCGHSモデルと同一の運動方程式を導出し、標準的定式化と整合性が確認された。
• 新しい形式で導出された表面項は、標準的なADM質量境界項と一致し、ADM質量は $ M = \frac{1}{2h}\left(\frac{h^{\prime 2}}{E^{\varphi 2}} - K_{\varphi}^{2}\right) $ と表され、ゲージ固定下でさらに $ M = b + 2h\lambda^{2} $ に簡略化される。
• 共形変換を用いずAshtekar様変数を用いることで、幾何的解釈が保持され、正準変数の物理的解釈が簡素化される。
• 制約代数は now リー代数となり、特に特異点の解消やポリマー化スキームにおいて、ループ量子重力の手法の応用が可能になる。