[論文レビュー] A localized spacetime Penrose inequality and horizon detection with quasi-local mass

Aghil Alaee, Martin Lesourd+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、Wang-YauおよびLiu-Yauの準局所質量を用いて、局所化された時空Penrose不等式を確立し、境界が非負スカラー曲率をもつ初期データセットにおける外側の極小外側捕獲表面（MOTS）のHawking質量が、これらの質量によって上から抑えられることを証明する。主な結果は、 Herzlich型定数を含まない鋭い準局所Penrose不等式を確立したことであり、非負スカラー曲率をもつ初期データセットにおけるMOTSの存在または非存在に関する新たな十分条件を可能にする。

ABSTRACT

For an admissible class of smooth compact initial data sets with boundary, we prove a comparison theorem between the Wang/Liu-Yau quasi-local mass of the boundary and the Hawking mass of strictly minimizing hulls in the Jang graphs of the domain. Using this, we prove a quasi-local Penrose inequality that involves these quasi-local masses of the boundary and the area of an outermost marginally outer trapped surface (MOTS) in the domain or the area of minimizing minimal surface within the Jang graphs. Moreover, we obtain sufficient conditions for the (non)existence of a MOTS within a domain, in the spirit of the folklore hoop conjecture.

研究の動機と目的

• 境界をもつ初期データセットに対して、Wang-YauおよびLiu-Yauの準局所質量とHawking質量との間の比較定理を確立すること。
• Herzlich型定数を含まない鋭い準局所Penrose不等式を導出し、外側の極小外側捕獲表面（MOTS）に適用可能なものとする。
• コンパクトな初期データセットにおけるMOTSの（非）存在に関する十分条件を、ホープ予想の精神に則って提示すること。
• Jang方程式と微分幾何的解析を用いて、準局所質量の比較を時空設定へと拡張すること。

提案手法

• 著者らは、滑らかで捕獲されておらず、単連結な境界と非負スカラー曲率をもつ初期データセットの適切なクラスを定義する。
• 初期データセットを、幾何的フローと最小化ヘイズを解析可能なリーマン多様体に変換するため、Jangグラフ構成を用いる。
• Jangグラフにおける最小化ヘイズのHawking質量と、境界のLiu-YauおよびWang-Yau準局所質量との間の比較定理を証明する。
• 証明は、弱い逆平均曲率フローとJang多様体におけるMinkowski型不等式を用いた微分幾何的解析技術に依存する。
• Meeks-Simon-Yauの最小曲面に関する結果を応用し、Gauss-Bonnet定理および曲率比較の議論を用いて、背理法に基づく非存在定理を導出する。
• 境界のGauss曲率とR³におけるMinkowski公式を用いて、直径と質量の上限を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界にHerzlich型定数を含まない鋭い準局所Penrose不等式を、初期データセットに対して確立できるか？
• RQ2 どのような条件下で、ある領域が極小外側捕獲表面（MOTS）を含むか、あるいは含まないか？
• RQ3 Liu-YauおよびWang-Yauの準局所質量を用いて、時空領域内にMOTSが存在するか、あるいは存在しないかを検出・除外できるか？
• RQ4 境界およびJangグラフにどのような幾何学的・解析的条件が課されると、最小化ヘイズのHawking質量が境界の準局所質量によって上から抑えられるか？
• RQ5 境界の直径と曲率は、Jangグラフ内に最小曲面が存在するのをどの程度制限するか？

主な発見

• 境界のGauss曲率が正であれば、任意のJangグラフ内の最小化ヘイズ $ \bar{E} $ に対して、$ m_{LY}(\bar{\theta}) \geq m_H(\partial\bar{E}) $ が成り立つ。
• 適切な時間関数が存在する場合、Wang-Yau準局所質量は $ m_{WY}(ar{\theta}) \geq m_H(\partial\bar{E}) $ を満たす。
• 鋭い準局所Penrose不等式が確立された：$ m_{LY}(\partial\Omega) \geq \sqrt{\frac{|S|}{16\pi}} $ および $ m_{WY}(\partial\Omega) \geq \sqrt{\frac{|S|}{16\pi}} $、ここで $ S $ はMOTSであるか、またはJangグラフ内に外向き最小化最小曲面をもつ。
• Liu-Yau質量が $ \frac{1}{2C} $ より小さい場合、Jangグラフは $ \mathbb{R}^3 $ 内の球に微分同相であり、最小曲面が存在せず、したがって元の領域にMOTSが存在しないことを示す。
• 境界の直径は、Minkowski公式とGauss-Bonnet定理から $ \text{diam}(\partial\Omega) \geq 4m_{LY}(\partial\Omega) $ が導かれる。
• Jangグラフ内に最小曲面が存在しないことは、Jang方程式の解の一意性およびJang構成における発散の不在を意味する。