[論文レビュー] A locally mass conserving quadratic velocity, linear pressure element

R. W. Thatcher, David J. Silvester|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2020

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、二次速度と線形圧力に加えて要素ごとの定数圧力の拡張を組み合わせた、局所的質量保存性（LC）を持つ有限要素をストークス流れに導入する。本手法は、新しいパッチベースの安定性解析を用いて、広範な三角形メッシュ上で最適収束性と安定性を証明し、多重の渦巻き領域を含む複雑な流れ構造の解像度において、テイラー＝フッド要素を上回る性能を示す。

ABSTRACT

By supplementing the pressure space for the Taylor-Hood element a triangular element that satisfies continuity over each element is produced. Making a novel extension of the patch argument to prove stability, this element is shown to be globally stable and give optimal rates of convergence on a wide range of triangular grids. This theoretical result is extended in the discussion given in the appendix, showing how optimal convergence rates can be obtained on all grids. Two examples are presented, one illustrating the convergence rates and the other illustrating difficulties with the Taylor-Hood element which are overcome by the element presented here.

研究の動機と目的

• テイラー＝フッド要素では、局所的ではなくグローバルに連続性が強制されるため、局所的質量保存性に欠けるという問題に対処すること。
• 最適収束率を維持しつつ、局所的非圧縮性（局所的連続性）を保証する有限要素を開発すること。
• 非一意な定数関数の表現を扱えるように拡張されたパッチ法を応用し、非構造的三角形メッシュの広いクラスに適用可能な、拡張されたパッチに基づく安定性証明を確立すること。
• 数値例を通じて、本手法が、多重の渦巻き領域を含む複雑な流れ構造を、粗いグリッドでさえもテイラー＝フッド要素よりも正確に解明できることを示すこと。

提案手法

• 二次速度形状関数（$P_2$）と、連続的線形圧力（$P_1$）空間に要素ごとの定数関数（$P_0$）を加えた拡張を用い、局所的保存性を有する圧力空間を構築する。
• 離散的なインフラ条件は、パッチを含む大きな重複する拡張パッチを用いる、新しいパッチベースの安定性議論によって証明される。これは、定数関数表現の退化を処理するためのものである。
• ステンベルグおよびボランド＝ニコライデスのパッチ技法を拡張し、拡張された圧力空間における定数関数の非一意表現を扱えるように適応する。
• 離散方程式は、速度および圧力の連続性制約を満たす有限要素部分空間上で解かれる。本手法はストークス問題およびナビエ＝ストークス問題に適用可能である。
• 非三角形のコーナーに対しては、重心および頂点の圧力を固定することで、解の存在を保証する圧力安定化戦略を導入する。これにより、精度を損なわず安定性が保たれる。
• 2つのベンチマーク問題における数値的検証を通じて、理論的安定性が裏付けられ、特に多重の渦巻き領域を有する流れの例が含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的質量保存性（各要素ごとの発散自由な速度）を保証しつつ、最適収束率を維持できる有限要素を構築できるか？
• RQ2 線形圧力に加え要素ごとの定数関数を加えた拡張圧力空間は、非構造的三角形メッシュ（極端に歪んだまたは引き延ばされた要素を含む）でも安定か？
• RQ3 提案手法は、多重の渦巻き領域のような複雑な流れ構造を、テイラー＝フッド要素よりも正確に解明できるか？
• RQ4 圧力空間における定数関数の非一意表現を扱える新しいパッチベースの安定性議論を構築できるか？

主な発見

• 局所的質量保存性（LC）を持つ要素は、$h_{\triangle} \leq \sigma \rho_{\triangle}$ の標準的正則性条件を満たさないメッシュを含む、広範な三角形グリッド上で、速度および圧力の最適収束率を達成する。
• LC要素は、$16 \times 4$ グリッド上でも、渦巻き流れ問題において3つの明確な渦巻き領域を解明できるが、テイラー＝フッド要素は$64 \times 16$ グリッドでさえも、1つの完全な渦巻き領域しか捉えられない。
• 数値結果から、LC要素はグリッドの細分化に応じて一貫した解を生成するのに対し、テイラー＝フッド要素は同様の問題に対して不規則で一貫性のない挙動を示す。
• 安定性証明は、重複する拡張パッチをパッチに含める技術に依存しており、圧力空間における定数関数の複数の表現という課題を克服する。
• 重心および頂点の圧力を境界隣接要素で固定することで、すべてのコーナーが三角形分割されないグリッドに対しても、本手法は安定的かつ正確に保たれる。