[論文レビュー] A locally symmetric Kaehler Einstein structure on a tube in the nonzero cotangent bundle of a space form

D. D. Porosniuc|ArXiv.org|Aug 29, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、正の定数曲率をもつ空間形式の非零余接 bundle 内のチューブ上に、局所的に対称なケーラー＝アインシュタイン構造を構成する。特定の有理関数によるパラメータ化を用いることで、得られる多様体がケーラー＝アインシュタインかつ局所的に対称であることが示され、しかし定値の複素幾何的断面曲率をもたないため、従来の構成とは区別される。

ABSTRACT

We obtain a locally symmetric Kaehler Einstein structure on a tube in the nonzero cotangent bundle of a Riemannian manifold of positive constant sectional curvature. The obtained Kaehler Einstein structure cannot have constant holomorphic sectional curvature.

研究の動機と目的

• 正の定数断面曲率をもつリーマン多様体の非零余接 bundle 内のチューブ上にケーラー＝アインシュタイン構造を構成すること。
• 非零余接 bundle 上の自然な対角型計量とほぼ複素構造の幾何的性質を調査すること。
• 得られるほぼヘルミート構造がケーラーかつアインシュタインとなる条件を特定し、局所的対称性を有するかどうかを検討すること。
• 構成された多様体の曲率性質を分析し、特にそれが定値の複素幾何的断面曲率をもてるかどうかを検討すること。
• 計量パラメータがエネルギー密度に関して線形である特異な場合に、局所的に対称なケーラー＝アインシュタイン構造が存在することを確立すること。

提案手法

• 本稿では、非零余接 bundle $ T^{*}_{0}M $ 上に、エネルギー密度 $ t $ に依存する滑らかな関数 $ v $ によるパラメータ化を施した自然な対角型リーマン計量 $ G $ を定義する。
• 垂直分布と水平分布を入れ替えるようなほぼ複素構造 $ J $ を導入し、$ J $ が可積分であるのは、基底多様体 $ M $ が定数断面曲率 $ c $ をもつ場合に限る。
• 計量 $ G $ が $ J $ に関してヘルミート的であり、関連する基本2次形式 $ \phi $ が閉形式であることが示され、ケーラー条件が確認される。
• パラメータ $ v $ は有理関数として制約され、局所座標における計量および接続の特定の形が得られる。
• リッチ曲率の計算と条件 $ \nabla K = 0 $ を用いることで、曲率テンソルが平行であることが確認され、局所的対称性が示される。
• この構成は $ c > 0 $ の場合に限定され、得られる多様体は $ T^{*}_{0}M $ 内のチューブであり、$ Ric = \frac{An}{2}G $ によってアインシュタイン条件が満たされる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の曲率をもつ空間形式の非零余接 bundle 内のチューブ上に、定値の複素幾何的断面曲率とは異なるケーラー＝アインシュタイン構造を構成できるか？
• RQ2 計量パラメータおよび基底多様体の曲率にどのような条件が課されると、局所的に対称なケーラー＝アインシュタイン構造が得られるか？
• RQ3 なぜ特異な場合 $ u = At $（エネルギー密度に関して線形）では、ケーラー＝アインシュタインであるにもかかわらず、定値の複素幾何的断面曲率をもたないのか？
• RQ4 垂直分布と水平分布は計量 $ G $ に対してどのように作用し合い、それらに誘導される計量の等長的でない性質はどのような役割を果たすか？
• RQ5 この幾何的設定において、曲率テンソルがどのようにして平行になるか、すなわち局所的対称性が成立するかの条件は何か？

主な発見

• 構成された $ T^{*}_{0}M $ 内のチューブ上のケーラー＝アインシュタイン構造は、曲率テンソルの平行性 $ \nabla K = 0 $ によって、局所的に対称であることが確認された。
• リッチ曲率は $ Ric = \frac{An}{2}G $ を満たし、アインシュタイン定数 $ \frac{An}{2} $ をもつことが確認された。
• 基底多様体 $ M $ は正の定数断面曲率 $ c $ をもち、パラメータ $ v $ はエネルギー密度 $ t $ の有理関数として、特に $ v = \frac{A}{2t} $ の形をとる。
• ほぼ複素構造 $ J $ は、$ M $ が定数断面曲率 $ c $ をもつ場合にのみ可積分であり、得られるケーラー構造は定値の複素幾何的断面曲率をもたない。
• 計量 $ G $ は $ J $ に関してヘルミート的であり、基本2次形式 $ \phi $ が閉形式であることが示され、ケーラー条件が確認された。
• 曲率成分 $ R_{ijkl} $、$ R_{ijhk} $、$ R_{ihkj} $ が明示的に計算され、対称性およびリッチ恒等式の条件を満たすことが示され、多様体の局所的対称性が裏付けられた。