[論文レビュー] A Logic of Interactive Proofs (Formal Theory of Knowledge Transfer)

Simon Kramer|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2012

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 31被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、直観的論理とCurry-Howard同型を拡張し、論理的証明（LP）にインspiredされたモダール枠組みを通じて、マルチエージェント分散システムにおける知識移転をモデル化する、インタラクティブ証明の形式的論理（LiP）を提案する。本稿は、単純型付きシステムにおいて、インタラクティブ計算と非インタラクティブ計算が認識論的に同等であることを確立し、証拠誘導型知識移転に基づく構成的認識論的意味論を通じて、インタラクティブ計算と非インタラクティブ計算の等価性を証明する。

ABSTRACT

We propose a logic of interactive proofs as a framework for an intuitionistic foundation for interactive computation, which we construct via an interactive analog of the Goedel-McKinsey-Tarski-Artemov definition of Intuitionistic Logic as embedded into a classical modal logic of proofs, and of the Curry-Howard isomorphism between intuitionistic proofs and typed programs. Our interactive proofs effectuate a persistent epistemic impact in their intended communities of peer reviewers that consists in the induction of the (propositional) knowledge of their proof goal by means of the (individual) knowledge of the proof with the interpreting reviewer. That is, interactive proofs effectuate a transfer of propositional knowledge (knowable facts) via the transmission of certain individual knowledge (knowable proofs) in multi-agent distributed systems. In other words, we as a community can have the formal common knowledge that a proof is that which if known to one of our peer members would induce the knowledge of its proof goal with that member. Last but not least, we prove non-trivial interactive computation as definable within our simply typed interactive Combinatory Logic to be nonetheless equipotent to non-interactive computation as defined by simply typed Combinatory Logic.

研究の動機と目的

• インタラクティブ計算を、構文的値計算ではなく、意味論的・認識論的に根拠付けられたプロセスとして形式化すること。
• 解釈された通信の根本的問題に取り組むこと——異なる解釈文脈を持つ分散エージェント間で、意図した意味を再現すること。
• 証拠の目的がピアレビュー担当者にどのように誘導されるかをモデル化する、構成的認識論的意味論を提供すること。
• インタラクティブ証明を型付き組合せ論理フレームワークに埋め込むことで、証明理論、認識論的論理、計算を統合すること。
• インタラクティブ計算が、計算表現力の観点から、非インタラクティブ計算と同等の能力を持つことを確立すること。

提案手法

• 直観的論理を古典的モダール論理に埋め込むGödel-McKinsey-Tarski-Artëmov埋め込みを、インタラクティブな設定に拡張する。
• 計算コアとして、証拠項を証明書およびメッセージとして扱う型付きインタラクティブ組合せ論理（TiCL）を導入する。
• 知識の証明がピアエージェントにその目的を知る知識を誘導する、構成的Kripke意味論を定義する。
• 通信チャネルを変数束縛としてモデル化し、証明論的定義による証明（証拠）を用いて、命題的知識を誘導する。
• Curry-Howard同型を用いて証拠と型付きプログラムを結びつけ、還元関係を通じて証拠の等価性を確立する。
• モダール枠組みを用いて、証拠の認識的影響を形式化し、知識がピアのコミュニティ内での証拠共有を通じて伝達されることを定式化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、証拠の個々の知識がピアエージェントに命題的知識を誘導するように、インタラクティブ証明を形式的に定義できるか？
• RQ2 マルチエージェントシステムにおけるインタラクティブ証明の認識論的意味論は何か？ そして、従来の証明論的定義とはどのように異なるか？
• RQ3 型付き・構成的設定において、インタラクティブ計算が非インタラクティブ計算と同等の能力を持つことが形式的に示せるか？
• RQ4 証拠項は、分散通信モデルにおける証拠とメッセージの両方として、どのように構造化できるか？
• RQ5 インタラクティブ証明を型付き組合せ論理フレームワークに埋め込む際、どのような論理的および認識論的性質が保存されるか？

主な発見

• インタラクティブ計算は認識論的に非インタラクティブ計算と同等である：本稿は、単純型付きインタラクティブ組合せ論理（TiCL）が、標準的な単純型付き組合せ論理と等価であることを証明する。
• 論理における証拠はピアエージェントに命題的知識を誘導する：ピアが証拠を知っているならば、証拠の目的についても知識を得るようになる。これは、知識移転をコアメカニズムとして形式化する。
• この論理は、証拠構築による操作的基盤と、モデル理論的意味論による記述的基盤の二重基盤を提供し、証拠の完全な認識論的意味論を実現する。
• このフレームワークは、通信プロトコル、証明を伴うコード、オンラインインタラクティブアルゴリズムに関する形式的推論を可能にし、構成的証明からプログラム抽出が可能となる。
• この論理は拡張可能である：リソース制限の仮定の下で、ガーディッド量限定子、ダイナミックモダリティ、不動点、暗号的プリミティブの今後の拡張をサポートする。
• 形式的定式化により、コミュニティ内で共通知識が確立される——証拠が知られていれば、その目的についても知識が誘導される——これは、数学的証明の社会的・認識論的側面を捉えている。