[論文レビュー] A Logical Approach to Decomposable Matroids

Yann Strozecki|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2009

Advanced Algebra and Logic被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、分岐幅を用いた分解可能な擬似体の論理的枠組みを導入し、代表的擬似体の分岐幅が有界である場合に、MSO（モノディック第二階論理）のモデルチェックを木におけるMSOへの還元によって多項式時間で行えるようにする。また、文法によって生成される新しい非代表的擬似体のクラスについて、線形時間でのMSO決定性を確立し、論理、擬似体構造、形式的言語を結びつける。

ABSTRACT

A notion of branch-width may be defined for matroids, which generalizes the one known for graphs. We first give a proof of the polynomial time model checking of MSOM on representable matroids of bounded branch-width, by reduction to MSO on trees, much simpler than the one previously known. We deduce results about spectrum of MSOM formulas and enumeration on matroids of bounded branch-width. We also provide a link between our logical approach and a grammar that allows to build matroids of bounded branch-width. Finally we introduce a new class of non-necessarily representable matroids described by a grammar, on which MSOM is decidable in linear time.

研究の動機と目的

• グラフから擬似体への分岐幅の概念を拡張し、論理的分析のための構造的分解を可能にする。
• 代表的擬似体の有界分岐幅におけるMSOMモデルチェックを、木におけるMSOへのより単純な多項式時間還元を提供する。
• 有界分岐幅の擬似体におけるMSOM論理式の決定性および列挙に関する結果を確立する。
• 有界分岐幅の擬似体を生成する形式的文法と論理的性質の関係を結ぶ。
• 文法によって定義される新しい非代表的擬似体のクラスを導入・分析し、その上でMSOMが線形時間で決定可能であることを示す。

提案手法

• グラフ理論的定義を一般化して、擬似体への分岐幅の概念を適応する。
• 有界分岐幅の代表的擬似体におけるMSOMモデルチェックを、木の分解を活用して木におけるMSOのモデルチェックに還元する。
• 形式的文法を用いて有界分岐幅の擬似体を生成し、構造的生成と論理的表現力の間の関係を確立する。
• 文法に基づく構成によって新しい非代表的擬似体のクラスを定義し、その上でMSOMの線形時間決定性を保証する。
• 有限モデル理論の結果を応用して、このような擬似体におけるMSOM論理式のスペクトルおよび列挙性質を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代表的擬似体の有界分岐幅におけるMSOMモデルチェックは、どのようにして効率的に行えるか。また、それが木におけるより単純な論理に還元可能か。
• RQ2 有界分岐幅の擬似体の構造的性質と、MSOMの論理的表現力の関係は何か。
• RQ3 形式的文法を用いて有界分岐幅の擬似体を生成する方法は何か。また、それらが継承する論理的性質は何か。
• RQ4 MSOMが線形時間で決定可能な非代表的擬似体のクラスを定義することは可能か。その構造的特徴は何か。
• RQ5 有界分岐幅の擬似体におけるMSOM論理式のスペクトルおよび列挙性質は何か。

主な発見

• 代表的擬似体の有界分岐幅におけるMSOMモデルチェックは、木におけるMSOへの還元によって多項式時間で決定可能である。
• 従来の手法と比較して、有界分岐幅の代表的擬似体におけるMSOMモデルチェックの多項式時間決定性を示すより単純な証明が得られた。
• 論理的および構造的性質に基づき、有界分岐幅の擬似体におけるMSOM論理式のスペクトルおよび列挙結果が導出された。
• 有界分岐幅の擬似体を生成する形式的文法が構築され、論理的定義可能性と構造的生成の間の関係が確立された。
• 文法による構成によって、新しい非代表的擬似体のクラスが導入され、その上でMSOMが線形時間で決定可能であることが示された。これにより、決定性が代表的構造を超えて拡張された。