[論文レビュー] A Logical Framework for Convergent Infinite Computations

Wei Li, Shilong Ma+2 more|ArXiv.org|May 10, 2001

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、コーシー列を用いて無限列の極限を表現することで、一階論理を拡張し、収束する無限計算の論理的枠組みを提案する。無限項と実ヒルベルトモデルを導入し、$\epsilon$-$N$収束に類似した距離に基づく極限定義を確立し、収束する Horn 論理プログラムの極限が実ヒルベルトモデルを有することを証明する。これにより、無限極限の整合的な計算が可能になる。

ABSTRACT

Classical computations can not capture the essence of infinite computations very well. This paper will focus on a class of infinite computations called convergent infinite computations}. A logic for convergent infinite computations is proposed by extending first order theories using Cauchy sequences, which has stronger expressive power than the first order logic. A class of fixed points characterizing the logical properties of the limits can be represented by means of infinite-length terms defined by Cauchy sequences. We will show that the limit of sequence of first order theories can be defined in terms of distance, similar to the $ε-N$ style definition of limits in real analysis. On the basis of infinitary terms, a computation model for convergent infinite computations is proposed. Finally, the interpretations of logic programs are extended by introducing real Herbrand models of logic programs and a sufficient condition for computing a real Herbrand model of Horn logic programs using convergent infinite computation is given.

研究の動機と目的

• 古典的一階論理が収束する極限に至る無限計算の意味論を捉えることの制限を解消すること。
• 距離に基づく極限定義を用いて、一階理論の列における収束の概念を形式化すること。
• 実ヒルベルトモデルを導入することで、論理プログラムの意味論を、ヒルベルトモデルの無限列の極限を捉えるように拡張すること。
• 収束する無限計算が Horn 論理プログラムの実ヒルベルトモデルを正しく計算できる十分条件を確立すること。
• コーシー列を用いて定義される無限項に基づく計算モデルを提供し、無限構造上の記号的計算を可能にすること。

提案手法

• 無限長の項とモデルの極限を表現するために、項のコーシー列を用いて一階理論を拡張する。
• 実解析に類似した距離に基づく $\epsilon$-$N$ 形式の基準を用いて、一階理論の列の極限を定義する。
• 有限項のコーシー列の極限として得られる無限項を導入し、不動点や極限的挙動の表現を可能にする。
• これらの無限項に基づく計算モデルを提案し、無限ドメイン上の連続的記号的計算をサポートする。
• 標準ヒルベルトモデルのコーシー列の極限として得られる実ヒルベルトモデルを導入し、論理プログラムの意味論を拡張する。
• 置換にリプシッツ的条件を適用し、本体項が収束する場合に頭項も収束することを保証し、収束性を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 収束する極限に至る無限計算の意味論を、論理的枠組みを用いて形式的に捉える方法は何か？
• RQ2 一階理論の列の極限を、実解析に類似した距離に基づく $\epsilon$-$N$ 形式の収束によって定義できるか？
• RQ3 論理プログラムの意味論を、ヒルベルトモデルが収束する無限計算をモデル化できるように拡張する方法は何か？
• RQ4 収束する Horn 論理プログラムの列の極限が、個々のモデルの極限である実ヒルベルトモデルを有するための条件は何か？
• RQ5 項と置換のコーシー列が論理的計算の収束を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 一階理論の列の極限は、$\epsilon$-$N$ 形式の距離度量を用いて形式的に定義可能であり、実解析の収束を論理的理論へ一般化する。
• 有限項のコーシー列の極限として得られる無限項を用いて、極限の性質を特徴付ける不動点のクラスを表現可能である。
• 収束する Horn 論理プログラムの列の最小ヒルベルトモデルの列はコーシー列を形成し、その極限は極限プログラムの実ヒルベルトモデルである。
• 収束する Horn 論理プログラムの列の極限は実ヒルベルトモデルを有し、このモデルは収束する無限計算によって計算可能である。
• 置換の下で本体項が収束するならば、頭項も収束し、定数 1 のリプシッツ的条件を満たす。
• 例において $\lim_{k\to\infty} M_k = \{p(f^\infty(a))\}$ であり、この極限は $\Gamma = \{p(f(x)) \leftarrow p(x)\}$ の実ヒルベルトモデルである。これにより、フレームワークの正しさが確認された。