[論文レビュー] A Logical Proof of the Free Will Theorem

Iégor Reznikoff|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2010

Quantum Mechanics and Applications被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、コンウェイとコーエンの自由意志定理を、物理的仮説を最小限の論理枠組みに還元することで、形式的で論理的な証明を提供する。粒子の性質と観測者の自由の公理を用いて、観測者が測定を自由に選べるならば、粒子の性質は事前に決定されていられないことを証明し、量子力学における非決定論の論理的必然性を確立する。

ABSTRACT

We give a purely logical proof of the J. Conway and S. Kochen Free Will theorem concerning undeterminacy in Quantum Mechanics (Notices of the AMS, February 2009, Vol. 56/2, p. 226). The logical method seems to be very powerful.

研究の動機と目的

• 物理的仮定を一切用いずに、必須の公理のみを用いて自由意志定理の最小限で形式的な論理的再構築を提供すること。
• 観測者の自由と粒子の不確定性との間の論理的依存関係を明確にすること。
• 物理理論の整合性と観測者の自由が成り立つ限り、粒子の性質が事前に決定されないことが導かれるということを示すこと。
• 少なくとも2つの粒子成分の値が常に未決定のままであることを示すことによって、定理を強化すること。

提案手法

• 各成分 i と時刻 t に対して、二値の性質 P(t,i) = 0 または 1 として粒子状態を形式化する。
• 観測行動 A(t,i) を、時刻 t に成分 i を測定するという述語として導入する。
• SPIN条項の公理化: もし成分が観測されれば、その値は 0 である（A(t,i) → P(t,i) = 0）。
• コーエン＝スプライス条件の公理化: 全ての成分が同時に 0 であることはあり得ない（∃i, P(t,i) ≠ 0）。
• 観測者の自由を非導出可能性によって定義する: t' < t に対して、F(t') ⊬ A(t,i) かつ F(t') ⊬ ¬A(t,i)。
• 背理法を用いる: 粒子が自由でないと仮定すると、観測者の自由と公理とが矛盾することになる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 物理的仮定を一切用いずに、最小限の論理的公理から自由意志定理を導出可能か？
• RQ2 観測者の選択と粒子の性質の事前決定不能性との間の正確な論理的関係は何か？
• RQ3 複数の成分の値が未決定のままである場合でも、定理は成立するか？
• RQ4 観測者の自由を形式的に定義し、粒子の不確定性と結びつけることができるか？
• RQ5 粒子の決定論的性質を仮定した場合に生じる矛盾が、公理と観測者の自由と整合しているか？

主な発見

• 観測者がどの成分を測定するかを自由に選べるならば、いかなる整合的な物理理論においても、粒子の性質は以前の出来事によって事前に決定されていられない。
• すべての粒子の値が決定的であると仮定すると、観測者の自由と SPIN 公理の両方に矛盾する論理的不整合が生じる。
• A(t,i) → P(t,i) = 0 と「すべてが 0 でない」性質の間の矛盾により、すべての時刻 t において少なくとも1つの成分は未決定な値を持つ必要がある。
• 証明により、少なくとも1つの成分 i について、F の以前の出来事からは P(t,i) = 0 および P(t,i) = 1 の両方が導出不可能であることが示された。
• 組合せ的議論を用いて、少なくとも2つの成分が常に予測不能なままであることを示すことによって、結果が強化された。
• 論理的構造により、不確定性が量子力学の特徴にとどまらず、観測者の自由と整合性の必然的結果であることが確認された。