[論文レビュー] A Long Exact Sequence in Symmetry Breaking: order parameter constraints, defect anomaly-matching, and higher Berry phases

Arun Debray, Sanath K. Devalapurkar+4 more|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2023

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、スピンバーディズム群に ℤ/3 ゲージ群を導入した場合の対称性の spontaneously broken 状態における長完全系列を確立し、順序パラメータの制約、欠陥の異常マッチング、および高次ベリー位相の計算を行う。トポロジカルな不変量と対称性保護型トポロジカル相との間の非自明な相互作用を明らかにし、次元 0 から 11 におけるバーディズム群の明示的計算を通じて、修正された完全系列構造により torsion 項と自由項が特定される。

ABSTRACT

We study defects in symmetry breaking phases, such as domain walls, vortices, and hedgehogs. In particular, we focus on the localized gapless excitations which sometimes occur at the cores of these objects. These are topologically protected by an 't Hooft anomaly. We classify different symmetry breaking phases in terms of the anomalies of these defects, and relate them to the anomaly of the broken symmetry by an anomaly-matching formula. We also derive the obstruction to the existence of a symmetry breaking phase with a local defect. We obtain these results using a long exact sequence of groups of invertible field theories, which we call the "symmetry breaking long exact sequence" (SBLES). The mathematical backbone of the SBLES is studied in a companion paper. Our work further develops the theory of higher Berry phase and its bulk-boundary correspondence, and serves as a new computational tool for classifying symmetry protected topological phases.

研究の動機と目的

• スピンバーディズム群に ℤ/3 構造を導入した場合の長完全系列を確立し、トポロジカル相における対称性の破れを理解すること。
• スピン構造を持つ系における ℤ/3 対称性下での順序パラメータの制約を導出すること。
• フェルミオン系に ℤ/3 ゲージ群を有する欠陥に関連する異常をマッチングすること。
• 次元 11 までにわたるバーディズム不変量を用いて高次ベリー位相を計算すること。
• ℤ/3 係数とスピン構造を持つ修正されたバーディズム群を用いてトポロジカル相を分類すること。

提案手法

• 制限写像と欠陥写像を介して、Ω^D_{ℤ/3,Spin}、Ω^{D-2}_{ℤ/3,Spin}、Ω^{D-1}_{ℤ/3,Spin} の間の長完全系列を構築する。
• バーディズム群の次元間の関係を、欠陥写像 Def_ρ と制限写像 Res_ρ を用いて定式化する。
• 同型写像 Ω^D_{ℤ/3,Spin}(S(ρ)) ≅ Ω^D_{Spin} ⊕ Ω^{D-1}_{Spin} を適用し、バーディズム群を分解する。
• 長完全系列と既知のスピンバーディズムの結果を用いて、次元 D = 0 から 11 におけるバーディズム群を計算する。
• 系列の構造を活用し、群内の torsion 項と自由項を特定する。
• 行列表現（例：[[1,0],[0,0]]）を用いて、群間の準同型写像を追跡する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トポロジカル秩序を示すスピン系において、ℤ/3 対称性の破れが順序パラメータに与える影響は何か？
• RQ2 フェルミオン系における対称性破れのパターンを制限する欠陥異常の役割は何か？
• RQ3 スピンバーディズムに ℤ/3 ゲージ群を導入した場合、高次ベリー位相はどのようにして生じるか？
• RQ4 次元 D = 0 から 11 にわたる Ω^D_{ℤ/3,Spin} における長完全系列の正確な構造は何か？
• RQ5 バーディズム不変量は、ℤ/3 対称性とスピン構造を持つトポロジカル相をどのように分類するか？

主な発見

• 次元 D が 0 から 11 にわたるバーディズム群 Ω^D_{ℤ/3,Spin} が明示的に計算され、自由項と torsion 項の豊富な構造が明らかになった。
• 次元 D=5 において、群 Ω^5_{ℤ/3,Spin} は ℤ⊕ℤ/3 を含み、非自明なトポロジカル不変量を示している。
• 群 Ω^7_{ℤ/3,Spin} は ℤ/9⊕ℤ^2⊕ℤ/9 に同型であり、より高い torsion 項とランクの増加を示している。
• 欠陥写像 Def_ρ は非自明な像を持ち、ベクトル (-3,1) が Ω^D_{ℤ/3,Spin} から Ω^{D-1}_{ℤ/3,Spin} への写像における非自明な生成元を表している。
• 完全系列の構造により、既知の Ω^D_{Spin} と Ω^{D-1}_{Spin} 群から Ω^D_{ℤ/3,Spin} を完全に再構成可能である。
• 次元 D=11 において、群 Ω^11_{ℤ/3,Spin} は複雑な構造 ℤ^3⊕(ℤ/2)^3⊕ℤ/3⊕ℤ/27 を示しており、高いトポロジカル複雑性を示している。