[論文レビュー] A look inside the theory of the linear approximation

Ll. Bel|ArXiv.org|May 10, 2006

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、一般ゲージ変換と勾配ベクトル場によって生成される「特別」なゲージ変換を区別することにより、線形化一般相対性理論における洗練されたゲージ構造を導入する。これにより、特別なゲージ変換に対して不変であるが一般ゲージ変換に対しては不変でない幾何学的対象——例えば回転場 $F_{\alpha\beta\mu}$——の定義が可能となり、電磁気学に類似した形式的枠組みが構築される。重力場の物理的に意味のある保存エネルギー運動量テンソルが導出され、点質量や回転する円盤への応用が行われ、線形重ね合わせによって一貫した解が得られ、完全な非線形境界条件の必要性が不要であることが示された。

ABSTRACT

We introduce in the framework of the linear approximation of General relativity a natural distinction between General gauge transformations generated by any vector field and those Special ones for which this vector field is a gradient. This allows to introduce geometrical objects that are not invariant under General gauge transformations but they are under Special ones. We develop then a formalism that strengthens the analogy of the formalisms of the electromagnetic and the gravitational theories in a Special relativity framework. We are thus able to define the energy-momentum tensor of the gravitational field and to fully analyze the gravitational field of isolated point masses or continuous distributions of them obtained by linear superpositions.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論の線形化において、一般ゲージ変換と勾配ベクトル場によって生成される「特別」なゲージ変換を区別することにより、ゲージ自由度の役割を明確化すること。
• 特別なゲージ変換に対して不変であるが一般ゲージ変換に対しては不変でない幾何学的対象（例：回転場 $F_{\alpha\beta\mu}$）を同定し、理論の物理的内容を拡張すること。
• $F_{\alpha\beta\mu}$ に対して二次的で、真空中で保存され、次元的に正しい重力エネルギー運動量テンソルを構成すること。これは超エネルギーテンソルとは対照的である。
• 線形化されたミンコフスキー空間背景において、点質量および連続的分布（例：回転円盤）の重力場を線形重ね合わせを用いて計算する形式的枠組みを適用すること。
• 真空中のアインシュタイン場方程式が線形段階で厳密に必要ではない可能性を示唆し、PPN形式に類似した一般化パrameter $\gamma$ を許容することで可能である。

提案手法

• 回転場 $F_{\alpha\beta\mu} = \partial_\alpha h_{\beta\mu} - \partial_\beta h_{\alpha\mu}$ を基本的対象として導入し、一般ゲージ変換に対して非自明に変換されるが、勾配によって生成される特別なゲージ変換に対しては不変であることを示す。
• 線形化アインシュタイン方程式から $F_{\alpha\beta\mu}$ の場の方程式を導出し、$\partial_{[\gamma} F_{\alpha\beta]\mu} = 0$ および $\partial_\alpha H^{\alpha}_{\ \beta\mu} = -2S_{\beta\mu}$ を満たすことを示す。ここで $H_{\alpha\beta\mu}$ は修正された場強度、$S_{\beta\mu}$ は線形化アインシュタインテンソルである。
• 対称的で保存されるエネルギー運動量テンソル $t_{\alpha\beta} = 2H_{\alpha\rho\mu}F^{\ \rho\mu}_\beta - \frac{1}{2}\eta_{\alpha\beta}F_{\sigma\rho\lambda}H^{\sigma\rho\lambda}$ を定義し、$F_{\alpha\beta\mu}$ に対して二次的で、物理的次元が正しいことを確認する。
• 測地線に沿って運動する点質量に対して、特定のゲージで線形化計量 $h_{\alpha\beta}$ を導出し、ニュートン的極限と整合することを確認する。
• 一定密度の剛体回転円盤を、無限小質量要素の場を重ね合わせることで解析し、$h_{00}$, $h_{0i}$, $h_{ij}$ について四極モーメントおよび電流質量補正まで含めた近似解を導出する。
• ゲージ条件を緩めることで一般化理論を提案し、PPN形式に類似した自由パrameter $\gamma$ を許容する。これによりアインシュタインテンソルが変更され、完全なアインシュタイン方程式が線形段階で必要でない可能性を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形重力理論において、超エネルギーテンソルに依存せず、保存され、$F_{\alpha\beta\mu}$ に対して二次的で、次元的に正しい重力エネルギー運動量テンソルを定義することは可能か？
• RQ2 勾配によって生成される特別なゲージ変換に対してのみ不変であるような幾何学的対象（例：$F_{\alpha\beta\mu}$）の物理的意味は何か？
• RQ3 複雑な源（例：回転円盤や点質量）の重力場は、線形近似において点状解の線形重ね合わせによってどの程度正確に構築可能か？
• RQ4 真空中のアインシュタイン場方程式を仮定せず、ゲージ不変な場の方程式と一般化パrameter $\gamma$ のみを用いて、点質量の線形化重力場を導出することは可能か？
• RQ5 特別なゲージ不変性を組み込むことで、電磁気学と重力の線形的類似性はどの程度向上するか？

主な発見

• 回転場 $F_{\alpha\beta\mu}$ は、勾配によって生成される特別なゲージ変換に対して不変であるが、一般ゲージ変換に対しては非自明に変換されるため、物理的場変数としての使用が正当化される。
• $F_{\alpha\beta\mu}$ に対して二次的で、物理的次元が正しい、対称的かつ真空中で保存されるエネルギー運動量テンソル $t_{\alpha\beta}$ が構成され、重力場のエネルギーと運動量の物理的に意味のある測定を可能にする。
• 測地線に沿って運動する点質量に対して、特定のゲージで線形化計量 $h_{\alpha\beta}$ が導出され、$h_{00} \approx \frac{2M}{R}$ および $h_{0i} \approx \frac{Mv_i}{R}$ となることが確認され、ニュートン的極限と整合する。
• 質量 $M$、半径 $a$、角速度 $\omega$ の剛体回転円盤に対して、四極モーメント補正：$h_{00} \approx \frac{2M}{R}\left(1 + \frac{a^2}{4R^2}(1 - 3\cos^2\theta)\right)$ および電流質量項：$h_{01} \approx \frac{M\omega a^2}{R^3}x^2$, $h_{02} \approx -\frac{M\omega a^2}{R^3}x^1$ が得られ、フレーム・ドレージ効果が示される。
• この形式的枠組みにより、境界条件を解くことなく、点質量場の線形重ね合わせを用いて拡張源をモデル化でき、一貫した漸近的場が得られる。
• 一般化理論において、アインシュタインテンソルが $S_{\alpha\beta} = (1 - \gamma)\frac{2m}{r^3}(\eta_{\alpha\beta} + u_\alpha u_\beta - 3n_\alpha n_\beta)$ に変更され、$\gamma$ が自由パrameterとして許容される。これは、線形段階で完全なアインシュタイン方程式が必須でない可能性を示唆する。