[論文レビュー] A looped-functional approach for robust stability analysis of linear impulsive systems

Corentin Briat, Alexandre Seuret|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2012

Control Systems and Identification参考文献 31被引用数 241

ひとこと要約

本稿では、線形インパルス系のロバスト安定性解析のためのループ関数的アプローチを導入し、非単調なリャプノフ関数の使用を可能にするとともに、指数関数的項を含まない線形行列不等式（LMI）条件を導出する。この手法により、確定的および不確実なシステム、特に周期的でないおよび範囲付きのドウェルタイムを含む状況においても、計算効率が向上し、従来の手法よりも広範な適用性を持つドウェルタイム解析が可能になる。

ABSTRACT

A new functional-based approach is developed for the stability analysis of linear impulsive systems. The new method, which introduces looped-functionals, considers non-monotonic Lyapunov functions and leads to LMIs conditions devoid of exponential terms. This allows one to easily formulate dwell-times results, for both certain and uncertain systems. It is also shown that this approach may be applied to a wider class of impulsive systems than existing methods. Some examples, notably on sampled-data systems, illustrate the efficiency of the approach.

研究の動機と目的

• LMIにおける指数関数的項の存在が数値的安定性とスケーラビリティを損なうため、既存のリャプノフベースの手法の限界を克服すること。
• 標準的手法では取り扱いが困難な、指数関数的項にブロック行列不確実性を含む不確実インパルス系の解析を可能にすること。
• インパルス発生時における関数の減少のみに注目することで、連続時間における非単調なリャプノフ関数の使用を可能にし、インパルス間の一時的な増加を許容すること。
• 不確実な線形インパルス系において、最小ドウェルタイム制約および最大ドウェルタイム制約、さらに範囲付きドウェルタイム条件の両方を満たすロバスト安定性解析を可能にすること。
• 連続時間関数的枠組みにおいて離散時間安定性基準を活用することで、サンプリングデータ制御系やネットワーキング制御系を含むより広範なクラスのインパルス系への適用可能性を拡張すること。

提案手法

• インパルス発生時でのみシステムのエネルギーを評価する、新たなリャプノフ型関数であるループ関数を導入し、インパルス間の非単調な挙動を許容する。
• 連続時間枠組みに埋め込まれた離散時間リャプノフ基準を用いて安定性条件を定式化し、各インパルス瞬間にわたってリャプノフ関数が減少することを保証する。
• ドウェルタイムに関してアフィンで、かつ指数関数的項を含まないLMI条件を導出し、効率的な数値的解法と安定性解析を可能にする。
• システム行列 $ A \times J $ の凸包を考察することで、不確実なシステムに適用し、不確実性集合内に存在するすべての組み合わせに対して安定性を保証する。
• 離散時間と連続時間安定性の間の暗黙的な対応関係をループ関数を通じて活用し、離散時間安定性条件を連続時間LMI制約に変換する。
• 連続ダイナミクスとジャンプ挙動を統合する合成リャプノフ関数を構築し、行列変数 $ P, Z_j, Q_j, U_j, R_j, N_j $ を用いて関数の構造をパrameter化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 LMI条件に指数関数的項を含まない関数的アプローチを、線形インパルス系のロバスト安定性解析に適用可能か。
• RQ2 連続時間における非単調なリャプノフ関数は、インパルス間の増加を伴う場合に、インパルス系の安定性解析にどの程度まで利用可能か。
• RQ3 提案手法は、不確実インパルス系において最小ドウェルタイム制約および最大ドウェルタイム制約、さらに範囲付きドウェルタイム間隔を両方とも処理可能か。
• RQ4 グリッドベースの手法や固有値解析と比較して、このループ関数的アプローチの計算効率と保守性はどのように異なるか。
• RQ5 この枠組みは、サンプリングデータ制御系やネットワーキング制御系に由来するより一般的なインパルス系のクラスへ拡張可能か。

主な発見

• 提案されたループ関数的アプローチにより、ドウェルタイムに関してアフィンで、かつ指数関数的項を含まないLMI条件が得られ、効率的かつ安定した数値的計算が可能になる。
• 不確実システム $ A \notin \text{co}\big\lbrace \begin{smallmatrix}1&3\\-1&2\\2&2\\0&6\\\text{co}\big\rbrace $ に対して、最大許容ドウェルタイムの下界を $ T_{\text{max}}^{\text{ℓ}} = 0.1148 $ として計算し、グリッド法と比較してやや保守的ではあるが、計算効率に優れる。
• 周期的でない場合にも、同じ手法により $ T_{\text{max}}^{\text{ℓ}} = 0.1148 $ が得られ、ドウェルタイム区間における高密度グリッドを必要とせず、一貫性とロバストネスを示す。
• 不確実性を有する範囲付きドウェルタイムケース（$ J \notin \text{co}\big\lbrace \begin{smallmatrix}1.3&0\\0&0.25\\1.1&0\\0&0.5\\\text{co}\big\rbrace $）に対しては、$ T_{\text{min}}^{\text{u}} = 0.2625 $ および $ T_{\text{max}}^{\text{ℓ}} = 0.5761 $ が得られ、固有値解析による真の区間 $[0.2624, 0.5776]$ に非常に近い。
• 本手法は、既存の手法よりも広範なクラスのインパルス系に一般化可能であり、周期的でないインパルスやブロック行列不確実性を含む系にも適用可能である。
• 非線形系、高次リャプノフ関数、$ T $-依存リャプノフ関数への応用も容易に可能であり、線形時不変系にとどまらない、将来的な広範な応用可能性を示唆している。