[論文レビュー] A Low Order Finite Element Method for Poroelasticity with Applications to Lung Modelling

Lorenz Berger|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2016

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 60被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、領域的に不連続な材料特性を示す複雑な生物学的組織における急峻な圧力勾配の正確なシミュレーションを可能にする、分離定数圧力と連続的区分線形変位・流れの安定化低次元有限要素法を提示する。この手法は、線形および大変形領域の両方で最適な収束性と安定性を達成しており、厳密な数値的検証を経て、生理的潮気呼吸および気道狭窄に伴う組織応答を再現する現実的な肺モデルへの応用が行われた。

ABSTRACT

In this thesis we develop a stabilised finite element method for solving the equations of poroelasticity to enable solving complex models of biological tissues such as the human lungs. For the proposed numerical scheme, we use the lowest possible approximation order: piecewise constant approximation for the pressure, and piecewise linear continuous elements for the displacements and fluid flux. Due to the discontinuous pressure approximation, sharp pressure gradients due to changes in material coefficients or boundary layer solutions can be captured reliably. We begin by developing theoretical results for approximating the linear poroelastic equations valid in small deformations. In particular, we prove existence and uniqueness, an energy estimate and an optimal a-priori error estimate for the discretised problem. We then extend this work and construct a stabilised finite element method to solve the poroelastic equations valid in large deformations. We present the linearisation and discretisation for this nonlinear problem, and give a detailed account of the implementation. We rigorously test both the linear and nonlinear finite element method using numerous test problems to verify theoretical stability and convergence results, and the method's ability to reliably capture steep pressure gradients. Finally, we derive a poroelastic model for lung parenchyma coupled to an airway fluid network model, and develop a stable method to solve the coupled model. Numerical simulations, on a realistic lung geometry, illustrate the coupling between the poroelastic medium and the network flow model, and simulations of tidal breathing are shown to reproduce global physiologically realistic measurements. We also investigate the effect of airway constriction and tissue weakening on the ventilation, tissue stress and alveolar pressure distribution.

研究の動機と目的

• 不連続な材料特性を示す生物学的組織における急峻な圧力勾配を的確に捉える、安定で低次元の有限要素法を構築すること。
• 整合的な線形化とニュートン反復を用いた安定化定式化により、この手法を大変形に拡張すること。
• 現実的な肺換気シミュレーションのため、多孔質弾性モデルと流体ネットワークモデルを結合すること。
• ベンチマーク問題と生理的シミュレーションを通じて、手法の安定性、収束性、精度を検証すること。

提案手法

• 圧力に区分定数近似、変位および流体フラックスに連続的区分線形形状関数を用いることで、急峻な勾配の効率的かつ安定な近似が可能となる。
• インフラ・サブ条件を満たし、混合定式化における適切な定式化を保証するため、安定化を施した混合有限要素法を適用する。
• 特に圧力変数の安定化を図るため、ガラーキン最小二乗安定化技術を用いて混合系を安定化する。
• 非線形大変形多孔質弾性問題を解くために、適応的時間刻み幅を用いたニュートン・ラプソン法を実装する。
• 界面条件を介して、1次元流体ネットワークモデルと多孔質弾性ソルバーを結合し、気道内流れと実質部の変形をシミュレートする。
• 並列有限要素アセンブリおよび解法にlibMeshとPETScを用い、大規模問題ではMUMPSを直接解法、GMRES/CGを反復解法として使用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不連続な圧力近似を用いた低次元有限要素法は、不均質な多孔質弾性媒体における急峻な圧力勾配を信頼性を持って捉えることができるか？
• RQ2 提案された安定化混合有限要素法は、標準的仮定下で線形多孔質弾性に対して最適な収束性と安定性を達成するか？
• RQ3 有限要素法は、安定性と精度を保持したまま、多孔質弾性における大変形を扱えるように拡張可能か？
• RQ4 結合された多孔質弾性－流体ネットワークモデルは、現実的な肺幾何形状における生理的換気パターンを再現できるか？
• RQ5 気道狭窄および組織の弱体化が、肺モデルにおける局所的換気、応力分布、および肺胞圧に及ぼす影響は何か？

主な発見

• 安定化低次元有限要素法は、最適な事前誤差推定を達成し、線形多孔質弾性問題において強固な収束性を示した。
• 低次元要素でさえも、材料の不連続性や境界層に起因する急峻な圧力勾配を的確に捉えることができた。
• 数値的テストにより、線形および非線形多孔質弾性問題の理論的安定性および収束率が確認された。
• 結合された多孔質弾性－流体ネットワークモデルは、現実的な肺幾何形状における潮気呼吸中の全身的生理的測定値を再現した。
• シミュレーション結果から、気道狭窄は局所的組織応力を増加させ、肺胞圧分布を変化させるとともに、組織の弱体化は換気効率を低下させた。