[論文レビュー] A Lower Bound for Generalized Dominating Numbers

Dan Hathaway|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2014

Advanced Topology and Set Theory参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、λ から κ への関数の半順序集合の至る所支配関係における正則関数の下界を新たに確立し、λ^κ = λ ならば cf(λ^κ) = 2^λ であることを証明する。証明では、任意の関数 f: κ^λ → κ を定義し、任意の関数 g が、κ^λ ⊆ M である推移的 ZF モデル M で f を支配するならば、そのモデルに A ⊆ λ が属することを保証する。これにより、構成可能性は支配関係に還元される。

ABSTRACT

We show a new proof for the fact that when $κ$ and $λ$ are infinite cardinals satisfying $λ^ κ= λ$, the cofinality of the set of all functions from $λ$ to $κ$ ordered by everywhere domination is $2^λ$. An earlier proof was a consequence of a result about independent families of functions. The new proof follows directly from the main theorem we present: for every $A \subseteq λ$ there is a function $f: {^κλ} o κ$ such that whenever $M$ is a transitive model of $ extrm{ZF}$ such that ${^κλ} \subseteq M$ and some $g: {^κλ} o κ$ in $M$ dominates $f$, then $A \in M$. That is, "constructibility can be reduced to domination".

研究の動機と目的

• λ^κ = λ のとき、λ から κ への関数の至る所支配順序の正則関数の下界を新たに証明すること。
• 推移的 ZF モデルにおける関数の支配関係と構成可能性の論理的関係を明確にすること。
• 独立関数族に依存せずに、cf(λ^κ) = 2^λ の直接的証明を提供すること。
• 支配関係が構成可能性を符号化できることを示し、支配関係から構成可能性関係への同型写像を示すこと。

提案手法

• 任意の g が、κ^λ ⊆ M である推移的モデル M で f を支配するならば、任意の A ⊆ λ に対して A ∈ M であるような関数 f: κ^λ → κ を定義する。
• モデル内の超限再帰と木構造を用いて、A ∉ M であると仮定した場合に矛盾を導く。この際、M 内の κ-木の高さを用いる。
• 木の高さと整礎性の絶対性を適用し、M 内に分岐が存在することを保証し、f が g に支配されているという仮定に矛盾する。
• 関数空間間の写像 φ⁻ と φ⁺ を用いて、κ^λ 上の支配関係と構成可能性関係との間の同型写像を構成する。
• P にサイズ κ の無有界鎖が存在することを用いて、φ⁺ と φ⁻ を定義し、至る所支配関係における順序保存性を保証する。
• 同型写像と κ^λ の既知の正則関数を用いて、関数空間の正則関数が 2^λ で下から抑えられることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 λ^κ = λ のとき、λ から κ への関数の半順序集合の至る所支配関係における正則関数の正確な値は何か？
• RQ2 部分集合 A ⊆ λ の構成可能性は、κ^λ から κ への関数の支配関係によって符号化可能か？
• RQ3 関数空間における支配関係は、推移的 ZF モデルにおける定義可能性と構成可能性とどのように関係するか？
• RQ4 独立関数族を用いない直接的証明により、cf(λ^κ) = 2^λ を示せるか？
• RQ5 モデル理論的意味で、支配関係は構成可能性関係を模倣できるか？

主な発見

• λ^κ = λ のとき、λ^κ 上の至る所支配順序の正則関数は正確に 2^λ に等しい。
• 任意の A ⊆ λ に対して、関数 f: κ^λ → κ が存在し、任意の推移的モデル M で κ^λ ⊆ M かつ g が f を支配するならば、A ∈ M である。
• 支配関係から構成可能性関係への同型写像が確立され、構成可能性が支配関係に還元されることを示した。
• λ が特異数であっても、λ^κ = λ ならば結果は成り立ち、ZF に追加の集合論的仮定は不要である。
• 独立関数族の使用を避け、従来の手法よりもより直接的な証明を与えた。
• φ⁻ と φ⁺ を用いた同型写像の構成により、任意のサイズ ≤ 2^λ の部分順序集合 P で λ^κ = λ を満たす場合に、cf(λ^κ) = 2^λ が成り立つ。