[論文レビュー] A lower bound for the tree-width of planar graphs with vital linkages

Isolde Adler, Philipp Klaus Krause|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2010

Advanced Graph Theory Research参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、連結なリンクージャンクションを含む平面的グラフの木幅に、単一指数関数的下界を確立し、$(2^k+1)\times(2^k+1)$ グリッドでは、素因数分解可能な頂点を保証できないことを示している。構成により、すべての頂点とグリッドを $2^k-1$ 回通過する唯一の解が得られ、このことから、このようなグラフにおける木幅およびパス幅は、少なくとも $2^{k-1}+1$ に増加することが証明される。

ABSTRACT

The disjoint paths problem asks, given an graph G and k + 1 pairs of terminals (s_0,t_0), ...,(s_k,t_k), whether there are k+1 pairwise disjoint paths P_0, ...,P_k, such that P_i connects s_i to t_i. Robertson and Seymour have proven that the problem can be solved in polynomial time if k is fixed. Nevertheless, the constants involved are huge, and the algorithm is far from implementable. The algorithm uses a bound on the tree-width of graphs with vital linkages, and deletion of irrelevant vertices. We give single exponential lower bounds both for the tree-width of planar graphs with vital linkages, and for the size of the grid necessary for finding irrelevant vertices.

研究の動機と目的

• 連結なリンクージャンクションを含む平面的グラフの木幅に下界を確立すること。これは、素因数分解可能な頂点の検出に用いられる固定パラメータの可 tractable アルゴリズムにおける重要な要素である。
• 平面的グラフにおける素因数分解可能な頂点を保証するためのグリッドのサイズが、$k$ に関して少なくとも指数関数的に増加することを示し、既存のアルゴリズムの実用性に疑問を呈する。
• すべての頂点を用い、グリッドを $2^k - 1$ 回通過する唯一の解を持つ、$k+1$ 個の端点ペアを持つ平面的グラフを構成し、すべての頂点が無関係でないことを証明する。
• ロバートソンとセイモアの木幅およびパス幅の定理における関数 $f(k)$ および $g(k)$ の明確な下界を提供すること。

提案手法

• $(2^k+1)\times(2^k+1)$ グリッド $\mathfrak{G}$ を含む平面的グラフ $G$ を構築し、端点 $s_i$ および $t_i$ を境界上に配置することで、通過回数が増加するように制御する。
• 端点を配置する際、$P_0$ はグリッドを 0 回通過し、$P_1$ は 1 回、$P_{i+1}$ は $P_i$ の 2 倍の回数を通過するように設定し、$i > 0$ の場合 $k_i = 2^{i-1}$ 回の通過を達成する。
• 各端点ペアの反対側の領域を削除することで、パスがグリッドを通る必要があり、エッジの再利用を避けるように制約し、唯一の解を保証する。
• 数学的帰納法を用いて解の一意性を証明する：各パス $P_i$ はグリッドを通過しなければならず、これにより後続のパスがブロッキングを避けるために通過回数を倍加させる必要が生じる。
• グリッドマイナーの性質と既知の木幅の結果を活用する：$n\times n$ グリッドの木幅は $n$ であるため、$(2^k+1)\times(2^k+1)$ グリッドの木幅は $2^k+1$ である。
• 唯一の解がバイタルリンクージャンクションを形成することを示し、ロバートソンとセイモアの定理を適用することで、$f(k)$ および $g(k)$ の下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $k+1$ 個の端点ペアを持つ平面的グラフにおいて、素因数分解可能な頂点の存在を保証するための最小グリッドサイズは何か？
• RQ2 バイタルリンクージャンクションを含む平面的グラフの木幅は、$k$ の関数として最小でどの程度になるか？
• RQ3 $(2^k+1)\times(2^k+1)$ グリッドを含む平面的グラフにおいて、素因数分解可能な頂点を含まない場合があるか？
• RQ4 ロバートソンとセイモアの木幅およびパス幅の定理における関数 $f(k)$ および $g(k)$ のタイトな下界は何か？
• RQ5 固定パラメータの可 tractable アルゴリズムにおける素因数分解可能な頂点の技法によるパラメータ依存性に、単一指数関数的下界が存在するか？

主な発見

• すべての頂点が使用され、素因数分解可能な頂点が存在しない、$k+1$ 個の端点ペアを持つ平面的グラフが存在する。
• 構築されたグラフは、$(2^k+1)\times(2^k+1)$ グリッドをマイナーとして含み、解パスはグリッドを正確に $2^k - 1$ 回通過する。
• グラフの木幅およびパス幅は、少なくとも $2^{k-1} + 1$ 以上であり、ロバートソンとセイモアの定理における関数 $f(k)$ および $g(k)$ の下界を確立する。
• $(2^k+1)\times(2^k+1)$ グリッドでは、素因数分解可能な頂点を保証できないため、より大きなグリッドが必要であることが示唆される。
• 木幅の下界は、固定パラメータの可 tractable アルゴリズムにおけるパラメータ依存性の指数的増加と一致しており、タイトである。
• この結果は、素因数分解可能な頂点の技法を回避または改良しない限り、素因数分解可能な頂点の技法によるパラメータ依存性を単一指数関数的以下に改善することは不可能であることを示している。