[論文レビュー] A lower bound on the number of inequivalent APN functions

Christian Kaspers, Yue Zhou|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2020

Coding theory and cryptography参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、偶数 $m \geq 4$ に対して、有限体 $\mathbb{F}_{2^{2m}}$ 上のCCZ-同値でないほぼ完全非線形（APN）関数の数の下界を確立する。Pott-ZhouのAPN関数（パラメータ $k$, $s$, $\alpha$ でパrameter化される）が、$k$ と $s$ が異なる場合に互いにCCZ-同値でないことを証明し、これにより $\left(\left\lfloor \frac{m}{4} \right\rfloor + 1\right) \cdot \frac{\phi(m)}{2}$ 個の同値でない関数の下界を得た。また、これらの関数の自己同型群についても完全に特徴付けた。

ABSTRACT

In this paper, we establish a lower bound on the total number of inequivalent APN functions on the finite field with $2^{2m}$ elements, where $m$ is even. We obtain this result by proving that the APN functions introduced by Pott and the second author, that depend on three parameters $k$, $s$ and $α$, are pairwise inequivalent for distinct choices of the parameters $k$ and $s$. Moreover, we determine the automorphism group of these APN functions.

研究の動機と目的

• 偶数 $m \geq 4$ に対して、$\mathbb{F}_{2^{2m}}$ 上のCCZ-同値でないAPN関数の数の下界を特定すること。
• 異なるパラメータ $k$ と $s$ を持つPott-Zhou APN関数がCCZ-同値でないことを証明すること。
• CCZ-同値性およびEA-同値性の下でのPott-Zhou APN関数の自己同型群を特徴付けること。
• $\mathbb{F}_{2^n}$ 上の同値でないAPN関数の総数という未解決問題に取り組み、特に $n$ が4の倍数の場合を対象とすること。
• $\mathbb{F}_2$ 上の偶数次元ベクトル空間における同値でないAPN関数の増加のベンチマークを提供すること。

提案手法

• Pott-Zhou APN関数の2変数表現を用いる：$f_{k,s,\alpha}(x,y) = \left( x^{2^k+1} + \alpha y^{(2^k+1)2^s}, xy \right)$。
• CCZ-同値性理論を適用し、2つの関数がいつ同値となるかを分析する。
• 有限体の性質と線形多項式を用いた代数的技法を用い、同値性が成立しない条件を導出する。
• 関数方程式を $\mathbb{F}_{2^m}$ 上で解くことで自己同型群を分析し、特に $a^{2^k+1} = c$ および $\alpha^{2^u-1} = 1$ の解の構造に注目する。
• 小規模なケース（$m = 2, 4$）についてMagmaを用いた計算的検証を行い、理論的結果の妥当性を確認する。
• Eulerのトーティエント関数 $\phi(m)$ などの数論的道具を用い、有効なパラメータ選択の数を数える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異なるパラメータ $k$ と $s$ を持つPott-Zhou APN関数は常にCCZ-同値でないか？
• RQ2 偶数 $m$ に対して、Pott-Zhou APN関数の正確な自己同型群のサイズは何か？
• RQ3 偶数 $m$ に対して、$\mathbb{F}_{2^{2m}}$ 上のCCZ-同値でないAPN関数の数を下から抑えられるか？
• RQ4 Pott-Zhou構成の構造は、他の既知の二次APN関数族と比べて同値性の観点でどのように異なるか？
• RQ5 同値でないAPN関数の数の下界は、4の倍数でない次元に対しても拡張可能か？

主な発見

• 偶数 $m \geq 4$ に対して、$\mathbb{F}_{2^{2m}}$ 上のCCZ-同値でないPott-Zhou APN関数の数は、少なくとも $\left(\left\lfloor \frac{m}{4} \right\rfloor + 1\right) \cdot \frac{\phi(m)}{2}$ 個以上である。
• 2つのPott-Zhou APN関数 $f_{k,s,\alpha}$ と $f_{\ell,t,\beta}$ がCCZ-同値であるための必要十分条件は $k = \ell$ かつ $s = t$ である。これにより、異なる $k,s$ を持つ関数は互いにCCZ-同値でないことが保証される。
• 線形自己同型群 $\operatorname{Aut}_L(f_{k,s})$ の位数は、$s \in \{0, m/2\}$ のとき $3m(2^m - 1)$、それ以外のときは $\frac{3}{2}m(2^m - 1)$ である。
• 完全自己同型群 $\operatorname{Aut}(f_{k,s})$ の位数は、$s \in \{0, m/2\}$ のとき $3m \cdot 2^m (2^m - 1)$、それ以外のときは $3m \cdot 2^{m-1} (2^m - 1)$ である。
• $m = 2$ の場合、唯一のPott-Zhou APN関数は線形同値にゴールド関数 $x \mapsto x^3$ に一致し、$|\operatorname{Aut}_L(f_{1,0})| = 360$、$|\operatorname{Aut}(f_{1,0})| = 5760$ である。
• $m > 2^{10}$ の場合、下界 $\frac{m\sqrt{m}}{2}$ が成り立ち、$m$ が2の累乗であるとき、上界 $\frac{m(m+4)}{16}$ は厳密に達成される。