[論文レビュー] A Lyapunov function construction for the Douglas-Rachford operator in a non-convex setting

Ohad Giladi, Björn S. Rüffer|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2017

Optimization and Variational Analysis参考文献 4被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、二本の直線と第三の直線が交差する非凸設定において、問題パラメータに依存する明示的な公式を用いて、局所的リャプノフ関数を組み合わせることで、ドーソン＝ラッハフォード作用素に対するグローバル・リャプノフ関数を構築する。このアプローチにより、非凸ケースにおけるグローバル収束性とロバスト安定性が確立され、より複雑な多角形幾何構造の分析のプロトタイプを提供する。

ABSTRACT

While global convergence of the Douglas-Rachford iteration is often observed in applications, proving it is still limited to convex and a handful of other special cases. Lyapunov functions for difference inclusions provide not only global or local convergence certificates, but also imply robust stability, which means that the convergence is still guaranteed in the presence of persistent disturbances. In this work, a global Lyapunov function is constructed by combining known local Lyapunov functions for simpler, local sub-problems via an explicit formula that depends on the problem parameters. Specifically, we consider the scenario where one set consists of the union of two lines and the other set is a line, so that the two sets intersect in two distinct points. Locally, near each intersection point, the problem reduces to the intersection of just two lines, but globally the geometry is non-convex and the Douglas-Rachford operator multi-valued. Our approach is intended to be prototypical for addressing the convergence analysis of the Douglas-Rachford iteration in more complex geometries that can be approximated by polygonal sets through the combination of local, simple Lyapunov functions.

研究の動機と目的

• ドーソン＝ラッハフォード反復法が非凸設定でグローバル収束の証明が不足している問題に対処すること。
• 幾何的に複雑な非凸問題において、局所的リャプノフ関数からグローバル・リャプノフ関数を体系的に構築する手法を開発すること。
• 複数の直線の交差を含む非凸状況におけるドーソン＝ラッハフォード作用素のロバスト安定性を確立すること。
• より一般的な多角形集合の配置に適用可能なプロトタイプフレームワークを提供すること。

提案手法

• 単純なサブ問題における既知の局所的リャプノフ関数を、明示的な公式を用いて各交点近傍でグローバルなリャプノフ関数に組み合わせる。
• 公式は問題パラメータに明示的に依存しており、グローバル関数が局所的成分の安定性特性をそのまま引き継ぐことを保証する。
• 分析は、一つの集合を二本の直線の和集合とし、もう一つの集合を単一の直線とする特定の非凸ケースに限定される。この場合、二つの異なる点で交差する。
• 非凸幾何構造のため、ドーソン＝ラッハフォード作用素はこのグローバル設定で多価的となるため、作用素の挙動に対して注意深く取り扱う必要がある。
• 構築法は、各交点近傍の局所的構造に依存しており、ここでは二本の直線の交差に還元され、すでに十分に理解されている。
• 得られるグローバル・リャプノフ関数は、グローバル収束性と、持続的摂動が存在する場合のロバスト安定性を両方とも証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数の交点を含む非凸設定において、ドーソン＝ラッハフォード作用素に対してグローバル・リャプノフ関数を構築できるか？
• RQ2 単純なサブ問題における局所的リャプノフ関数を、有効なグローバル・リャプノフ関数にどのように組み合わせることができるか？
• RQ3 得られたグローバル・リャプノフ関数は、持続的摂動が存在する場合でもロバスト安定性を保証するか？
• RQ4 このアプローチは、多角形集合で近似可能なより複雑な非凸幾何構造に一般化可能か？

主な発見

• 二つの交点を含む非凸設定において、ドーソン＝ラッハフォード作用素に対するグローバル・リャプノフ関数が成功裏に構築された。
• 構築法は、パラメータに依存する明示的公式を用いて局所的リャプノフ関数を組み合わせており、定義域全体にわたり有効性を保証する。
• グローバル・リャプノフ関数は、ドーソン＝ラッハフォード反復のグローバル収束性とロバスト安定性を両方とも証明する。
• 本手法は、多角形集合から構成されるより複雑な非凸幾何構造における収束解析のプロトタイプを提供する。