[論文レビュー] A magnetic model with a possible Chern-Simons phase

Michael Freedman|ArXiv.org|Oct 9, 2001

Quantum many-body systems参考文献 33被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、トーラスのようなトポロジカルに非自明な表面において、局所的ハミルトニアン $H_{\circ,\ell}$ を持つ2次元量子スピン模型を提案する。このハミルトニアンは、非常に縮退した基底状態空間 $G_{\circ,\ell}$ を持つ。トポロジカルな構造を保つ代数的摂動により、この縮退した基底状態空間は、レベル $\ell$ における $SO(3)$-Chern-Simons のモジュラー関手の量子ダブルである $DE\ell$ で記述されるトポロジカル秩序相に崩壊する。この相は任意onsを支持し、$\ell \geq 3$ かつ $\ell \neq 0 \mod 4$ のとき、ユニバーサルでフォールトトレランスな量子計算を可能にする。この模型は、'量子ループガス' を通じたトポロジカル量子計算の固体実現を示唆する。

ABSTRACT

An elementary family of local Hamiltonians $H_{\c ,\ell}, \ell = 1,2,3, ldots$, is described for a $2-$dimensional quantum mechanical system of spin $={1/2}$ particles. On the torus, the ground state space $G_{\circ,\ell}$ is $(\log)$ extensively degenerate but should collapse under $ł$perturbation" to an anyonic system with a complete mathematical description: the quantum double of the $SO(3)-$Chern-Simons modular functor at $q= e^{2 πi/\ell +2}$ which we call $DE \ell$. The Hamiltonian $H_{\circ,\ell}$ defines a \underline{quantum} \underline{loop}\underline{gas}. We argue that for $\ell = 1$ and 2, $G_{\circ,\ell}$ is unstable and the collapse to $G_{ε, \ell} \cong DE\ell$ can occur truly by perturbation. For $\ell \geq 3$, $G_{\circ,\ell}$ is stable and in this case finding $G_{ε,\ell} \cong DE \ell$ must require either $ε> ε_\ell > 0$, help from finite system size, surface roughening (see section 3), or some other trick, hence the initial use of quotes $ł\quad$". A hypothetical phase diagram is included in the introduction.

研究の動機と目的

• トポロジカルに非自明な表面（例：トーラス）上で、スピン-$\frac{1}{2}$ 粒子の2次元格子系に対して、局所的かつ正定値のハミルトニアン $H_{\circ,\ell}$ を構成し、広範な基底状態の縮退を実現すること。
• この縮重度の基底状態空間 $G_{\circ,\ell}$ の摂動が、レベル $\ell$ における $SO(3)$-Chern-Simons理論の量子ダブルに相当する $DE\ell$ モジュラー関手で記述されるトポロジカル秩序相を生成することを示すこと。
• $\ell=1,2$ の場合、縮重度は不安定であり、摂動によって自然に $DE\ell$ に流れ込むが、$\ell \geq 3$ の場合、有限な摂動または他のメカニズムが必要であることを主張すること。
• $\ell \geq 3$ かつ $\ell \neq 0 \mod 4$ の場合、$DE\ell$ が任意onsの braiding を用いてユニバーサルで本質的にフォールトトレランスな量子計算を可能にすることを確立すること。
• $H_{\circ,\ell}$ を用いた '量子ループガス' を基盤とする固体系でのトポロジカル量子計算の実現を提唱すること。特に $\ell=3$ の場合を実験的実現可能性の高いターゲットとして位置づけること。

提案手法

• 基底状態空間 $G_{\circ,\ell}$ は、Temperley-Lieb 圏から導かれる表面代数としてモデル化され、可能な摂動を制限する一意的な非自明なイデアル構造を持つ。
• 摂動は、モノイダルテンソル圏構造を保つ代数的同型として、元の基底状態代数の商としてモデル化される。
• 摂動された基底状態 $G_{\epsilon,\ell}$ が、既知のモジュラー関手 $DE\ell$ に同型であると仮定する。これは、このような商代数の分類に基づく。
• Temperley-Lieb代数 $\mathrm{TL}(\tau)$（$\tau = e^{2\pi i / (\ell+2)}$）における無視可能な自己準同型およびイデアルの構造を用いて、$G_{\circ,\ell}$ の安定性を分析する。$\ell \geq 3$ の場合、縮重度は安定であり、非ゼロの摂動が必要であることが示される。
• 商代数内に、トレースが非ゼロである最小の非ゼロイデムポテンシャルが存在することを確認することで、摂動された系が非自明な任意ons秩序相を実現していることを裏付ける。
• 古典的ループガスとの類似性を用いて臨界行動と相の安定性を推論し、$\ell=1,2$ は不安定で、$\ell \geq 3$ は安定であると示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元格子上のスピン-$\frac{1}{2}$ 粒子に対する局所的かつ正定値のハミルトニアンが、縮重度の基底状態の摂動によってトポロジカル秩序相を生成できるか？
• RQ2 レベル $\ell \geq 3$ の場合、モデル $H_{\circ,\ell}$ の摂動された基底状態は、$SO(3)$-Chern-Simons理論の量子ダブルに相当する $DE\ell$ モジュラー関手を実現するか？
• RQ3 どの $\ell$ の値に対して、任意ons相 $DE\ell$ は計算的にユニバーサルかつ本質的にフォールトトレランスであるか？
• RQ4 Temperley-Lieb代数およびそのイデアルは、縮重度の基底状態に作用する摂動の有効作用をどのように制限するか？
• RQ5 特に $\ell=3$ の場合、極端な条件（低温や回転するBECなど）を必要としない '量子ループガス' ハミルトニアン $H_{\circ,\ell}$ を用いて、$DE\ell$ の固体実現が可能か？

主な発見

• $\ell=1$ および $\ell=2$ の場合、縮重度の基底状態空間 $G_{\circ,\ell}$ は不安定であり、摂動のみで $G_{\epsilon,\ell} \cong DE\ell$ に自然に流れ込み、追加のメカニズムは不要である。
• $\ell \geq 3$ の場合、基底状態空間 $G_{\circ,\ell}$ は安定であり、$G_{\epsilon,\ell} \cong DE\ell$ に到達するには有限な摂動 $\epsilon > \epsilon_\ell > 0$ あるいは有限系サイズや表面粗さなどの非摂動的効果が必要である。
• 摂動された基底状態 $G_{\epsilon,\ell}$ は、元の縮重度空間の代数的構造によって一意に決定され、商代数の分類により $DE\ell$（レベル $\ell$ における偶数セクター $SO(3)$-Chern-Simons モジュラー関手の量子ダブル）に同型である。
• $DE\ell$ における任意onsのスーパーシェルクツェクターの数は $\lambda = \left(\left\lfloor \frac{\ell+1}{2} \right\rfloor\right)^2$ であり、これは整数スピンの任意onsに対応し、$\lambda$ 種類の点状の任意ons励起がペアで生成可能である。
• $\ell \geq 3$ かつ $\ell \neq 0 \mod 4$ の場合、任意ons系 $DE\ell$ は任意onsのバーリングを用いてユニバーサルで本質的にフォールトトレランスな量子計算を可能にする。
• 本モデルは、$H_{\circ,3}$ の '量子ループガス' 実現を通じた固体系トポロジカル量子計算の実現可能性を示唆し、室温でも実現可能である可能性を示唆し、今世紀の実験物理学の挑戦課題である。