[論文レビュー] A Majority Lemma for Randomised Query Complexity

Joshua Brody, Jae Tak Kim+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、k 個の関数のXORのランダム化クエリ複雑度に対して強い直接和定理を確立し、XOR ◦g の複雑度がkに線形にスケーリングすることを証明している。これは、ナイーブな成功確率増幅の境界と一致する。これは、BlaisとBrodyの予想を解決し、Ben-Davidらの未解決の問題に答えている。全関数gを構築することで、Rε(XOR ◦g) = Θ(k log k · R(g))を達成した。

ABSTRACT

We study hardness amplification in the context of two well-known "moderate" average-case hardness results for AC⁰ circuits. First, we investigate the extent to which AC⁰ circuits of depth d can approximate AC⁰ circuits of some larger depth d + k. The case k = 1 is resolved by Håstad, Rossman, Servedio, and Tan’s celebrated average-case depth hierarchy theorem (JACM 2017). Our contribution is a significantly stronger correlation bound when k ≥ 3. Specifically, we show that there exists a linear-size AC⁰_{d + k} circuit h : {0, 1}ⁿ → {0, 1} such that for every AC⁰_d circuit g, either g has size exp(n^{Ω(1/d)}), or else g agrees with h on at most a (1/2 + ε)-fraction of inputs where ε = exp(-(1/d) ⋅ Ω(log n)^{k-1}). For comparison, Håstad, Rossman, Servedio, and Tan’s result has ε = n^{-Θ(1/d)}. Second, we consider the majority function. It is well known that the majority function is moderately hard for AC⁰ circuits (and stronger classes). Our contribution is a stronger correlation bound for the XOR of t copies of the n-bit majority function, denoted MAJ_n^{⊕ t}. We show that if g is an AC⁰_d circuit of size S, then g agrees with MAJ_n^{⊕ t} on at most a (1/2 + ε)-fraction of inputs, where ε = (O(log S)^{d - 1} / √n)^t. To prove these results, we develop a hardness amplification technique that is tailored to a specific type of circuit lower bound proof. In particular, one way to show that a function h is moderately hard for AC⁰ circuits is to (a) design some distribution over random restrictions or random projections, (b) show that AC⁰ circuits simplify to shallow decision trees under these restrictions/projections, and finally (c) show that after applying the restriction/projection, h is moderately hard for shallow decision trees with respect to an appropriate distribution. We show that (roughly speaking) if h can be proven to be moderately hard by a proof with that structure, then XORing multiple copies of h amplifies its hardness. Our analysis involves a new kind of XOR lemma for decision trees, which might be of independent interest.

研究の動機と目的

• XOR関数のランダム化クエリ複雑度に対する強い直接和定理を確立すること。
• BlaisとBrodyの予想1（XOR ◦g の複雑度に関するもの）を解決すること。
• Ben-Davidらの未解決問題1（Rε(XOR ◦g) = Ω(k log k · R(g)) を満たす全関数gの存在）に答えること。
• 確率論的および情報理論的技術を用いて、XOR ◦g に対する分布的強い直接和結果を証明すること。
• XORのk個のインスタンスを計算する際、ナイーブな成功確率増幅戦略が漸近的に最適であることを示すこと。

提案手法

• 分布的強い直接和補題を証明：Dμkδ,ε(XOR ◦g) = Ω(k Dμδ′,ε′(g)) で、δ′ = Θ(1) かつ ε′ = Θ(ε/k)。
• ハイブリッド法と入力分布上の確率的解析を用いて、k個の入力におけるランダム化アルゴリズムの成功を個々の関数クエリに結びつける。
• マーカフの不等式と条件付き確率の境界を用いて、中止確率と誤差確率を制御する。
• 元のアルゴリズムAをk個の入力でエミュレートするが、特定の失敗状態で中止するように変更したアルゴリズムA′を導入し、誤差と中止率を制限する。
• 葉に基づく解析を用いて、入力全体にわたる正しさと一貫性に基づき、葉を「良い」または「悪い」と分類する。
• 標準的な成功確率増幅技術を用いて、Rε/k(g) と R12ε′/k(g) を関連づけ、漸近的境界を完成させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 XOR ◦g のランダム化クエリ複雑度はkに線形にスケーリングするか。これは、ナイーブな成功確率増幅戦略と一致するか。
• RQ2 XOR関数において、ランダム化クエリ複雑度モデルで強い直接和定理を確立できるか。
• RQ3 Rε(XOR ◦g) = Ω(k log k · R(g)) を満たす全関数gが存在するか。
• RQ4 XOR ◦g の分布的複雑度は、最悪ケース複雑度をタイトに下界づけるか。
• RQ5 分布的クエリ複雑度と確率的葉の解析を用いて、強い直接和定理を証明できるか。

主な発見

• 論文は Rε(XOR ◦g) = Ω(k Rε/k(g)) を証明し、BlaisとBrodyの予想を確認した。
• 論文は、ランダム化クエリ複雑度モデルにおけるXORの強い直接和定理を確立した。
• 論文は、Rε(XOR ◦g) = Ω(k log k · R(g)) を満たす全関数gを構築した。これはBen-Davidらの未解決問題に答えている。
• 証明は、分布的強い直接和補題に依存している：Dμkδ,ε(XOR ◦g) = Ω(k Dμδ′,ε′(g)) で、δ′ = Θ(1) かつ ε′ = Θ(ε/k)。
• 解析は、葉の挙動と中止確率に関する確率的境界を用いて、最終的な複雑度境界を導出している。
• この結果は、XORのk個の関数インスタンスを計算する際、ナイーブな成功確率増幅戦略が漸近的に最適であることを示している。