[論文レビュー] A Marked Cox Model for IBNR Claims: Model and Theory

Andrei L. Badescu, X. Sheldon Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2015

Probability and Risk Models参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、火災・損害保険における事故発生プロセスおよび報告遅延をモデリングするためのマーク付きCox過程モデルを提案し、隠れマルコフ連鎖を用いて時間的依存性を組み込む。主な貢献は、報告済みおよびIBNR事故プロセスが、自己相関関数および周辺分布の閉形式表現を有するマーク付きCox過程であることを示したことであり、これにより推論および予測が容易になる。

ABSTRACT

Incurred but not reported (IBNR) loss reserving is an important issue for Property & Casualty (P&C) insurers. The modeling of the claim arrival process, especially its temporal dependence, has not been closely examined in many of the current loss reserving models. In this paper, we propose modeling the claim arrival process together with its reporting delays as a marked Cox process. Our model is versatile in modeling temporal dependence, allowing also for natural interpretations. This paper focuses mainly on the theoretical aspects of the proposed model. We show that the associated reported claim process and IBNR claim process are both marked Cox processes with easily convertible intensity functions and marking distributions. The proposed model can also account for fluctuations in the exposure. By an order statistics property, we show that the corresponding discretely observed process preserves all the information about the claim arrival epochs. Finally, we derive closed-form expressions for both the autocorrelation function (ACF) and the distributions of the numbers of reported claims and IBNR claims. Model estimation and its applications are considered in a subsequent paper, Badescu et al.(2015b)

研究の動機と目的

• 既存のIBNR損失準備金フレームワーク、特にマイクロレベルモデルにおいて時間的依存性のモデリングが不十分であるという問題に対処すること。
• ポートフォリオ全体の環境要因に起因する事故発生の依存性を捉えることが可能な柔軟で数学的に取り扱いやすいモデルの開発。
• 提案されたモデルの下で、報告済みおよびIBNR事故プロセスがマーク付きCox過程として形式的に特徴付けられることの確立。
• 到着時刻に関する順序統計の性質を用いて、離散的に観測されたデータが元の到着時刻に関する完全な情報を保持することの保証。
• 報告済みおよびIBNR事故件数の自己相関関数および周辺分布の閉形式表現の導出。

提案手法

• 時間的依存性を誘導するために、隠れマルコフ連鎖によって駆動されるマーク付きCox過程として、事故発生プロセスおよび報告遅延をモデリング。
• 状態依存の強度関数およびマーキング分布を有するマーク付きCox過程を用いて、事故発生および報告遅延を表現。
• 到着時刻に関する順序統計の性質を適用し、離散的に観測された事故発生プロセスが元の到着時刻に関するすべての情報を保持することを示す。
• 下位のマーク付きCox過程の変換を用いて、報告済みおよびIBNR事故プロセスの強度関数およびマーキング分布を導出。
• パラメータの混合表現を用いて、モデル下での報告済みおよびIBNR事故件数の周辺分布を表現。
• 離散化の下でも報告済みおよびIBNRプロセスの連合分布が保持されることを確立し、データ適合および推論を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 隠れマルコフ連鎖を有するマーク付きCox過程は、解釈可能性を保ちつつ、事故発生の時間的依存性を適切にモデリングできるか。
• RQ2 提案されたマーク付きCoxモデル下で、報告済みおよびIBNR事故プロセスの確率的性質はどのように振る舞うか。
• RQ3 このモデル下で、離散的に観測された事故プロセスの自己相関関数（ACF）の構造はいかなるものか。
• RQ4 報告済みおよびIBNR事故件数の周辺分布に対して、閉形式表現を導出できるか。
• RQ5 モデルは露出の変動をどのように扱いながらも、数学的取り扱いやすさを維持できるか。

主な発見

• 報告済み事故プロセスおよびIBNR事故プロセスは、ともに強度関数およびマーキング分布を容易に変換可能なマーク付きCox過程である。
• 到着時刻に関する順序統計の性質のおかげで、離散的に観測された事故プロセスは、元の事故発生時刻に関するすべての情報を保持する。
• 離散的に観測された報告済みおよびIBNR事故プロセスの自己相関関数（ACF）について、閉形式表現が導出された。
• 時刻τまでの報告済み事故件数の周辺分布は、パrameter θ^r の一変量パラメータ混合分布であり、同様にIBNR事故についてもθ^IBNRのパラメータ混合分布である。
• 露出の変動を扱えるとともに、隠れマルコフ連鎖構造のおかげで時間的依存性の自然な解釈が可能である。
• 理論的結果から、過分散ポアソンモデルよりもより正確な最良推定値およびより現実的な予測分布を提示できる可能性が示唆されており、後続の実証的検証（Badescu et al., 2015b）でも裏付けられている。