[論文レビュー] A Markov Model of a Limit Order Book: Thresholds, Recurrence, and Trading Strategies

F. P. Kelly, Elena Yudovina|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2015

Economic theories and models参考文献 22被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、独立同一分布の価格を持つ制限注文のポアソン到着を伴う、取り扱い可能なマルコフモデルを提案し、均衡において最高買付価格および最低売付価格を制限する閾値価格（κb および κa）の存在を確立する。これらの価格の明示的極限分布 πb および πa を導出し、それが式 (1a)–(1b) のバランス方程式を満たすことを示し、流体極限を用いて正再帰性を証明することで、高頻度取引戦略および異なる市場メカニズム下でのナッシュ均衡の分析を可能にする。

ABSTRACT

We analyze a tractable model of a limit order book on short time scales, where the dynamics are driven by stochastic fluctuations between supply and demand. We establish the existence of a limiting distribution for the highest bid, and for the lowest ask, where the limiting distributions are confined between two thresholds. We make extensive use of fluid limits to establish recurrence properties of the model. We use the model to analyze various high-frequency trading strategies, and comment on the Nash equilibria that emerge between high-frequency traders when a market in continuous time is replaced by frequent batch auctions.

研究の動機と目的

• 短時間スケールにおける取り扱いやすく解析的に解ける制限注文書のモデルを開発すること。
• 確率的需給不均衡下における制限注文書における最高買付価格および最低売付価格の長期的挙動を分析すること。
• 買付および売付価格の極限分布を制限する閾値価格（κb, κa）の存在を確立すること。
• バインニングされたモデルの正再帰性を証明するために流体極限技術を用い、正確な分布結果を得ること。
• 連続市場およびバッチオークション市場下での高頻度取引戦略（市場メイキング、スニーピング、混合戦略）とそれらのナッシュ均衡を分析すること。

提案手法

• 単位レートで独立したポアソン到着を示す買付および売付注文をもつ連続時間マルコフ過程として制限注文書をモデル化すること。
• 買付に対して fb(x)、売付に対して fa(x) のi.i.d.価格分布を仮定し、価格優先に基づく注文マッチングルールを採用すること。
• 価格での注文マッチングのフラックスとその価格に新規注文が到着するフラックスを等しくするバランス方程式 (1a) および (1b) を導出すること。
• バインニングされたモデルの正再帰性を確立するために流体極限近似を用い、極限分布の存在を証明する上で不可欠な性質を示すこと。
• 異なる市場構造およびトレーダー行動下での明示的収益率計算を通じて高頻度取引戦略を分析すること。
• 競合する市場メイカーとスナイパー、および価格競争（速度競争ではなく）によるスナイパー間のナッシュ均衡を研究すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 i.i.d.価格到着およびポアソン取引下での制限注文書における最高買付価格および最低売付価格の極限分布は何か？
• RQ2 κb および κa という自然な閾値が存在し、それ以下の価格はマッチされず、それ以上の価格が繰り返し書庫に存在するという現象は生じるか？
• RQ3 流体極限技術は、バインニングされたモデルの正再帰性をどのように確立し、正確な分布結果を可能にするか？
• RQ4 連続市場が頻繁なバッチオークションに置き換えられた場合、高頻度トレーダー間で出現するナッシュ均衡は何か？
• RQ5 スナイパー間または市場メイカーとスナイパー間の競争は、Bid-Askスプレッドおよび総合収益率にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 最低売付価格 πa(x) および最高買付価格 πb(x) の極限分布は区間 (κb, κa) に支持され、κb = 1 − κ、κa = κ であり、κ ≈ 0.218 は we^w = e^{-1} の解から導出される。
• fa(x) = fb(x) = 1 on (0,1) の対称的ケースにおいて、最高買付価格の極限密度は x ∈ (κ, 1−κ) に対して πb(x) = (1 − κ)(1/x + log((1−x)/x)) で与えられ、κ ≈ 0.218 である。
• 市場注文の割合 w ≈ 0.278 以上の臨界値を超えると、極限分布が区間 (0,1) 全体をカバーするようになり、最高買付価格や最低売付価格が存在しない期間が繰り返し現れるようになることが予測される。
• 市場メイカーとスナイパーのデュオポリにおいて、ナッシュ均衡では市場メイカーの収益率は 0.073、スナイパーの収益率は 0.020 となり、最適価格は P ≈ 0.340 および q = √(P(1−P)) となる。
• 複数のスナイパーが速度ではなく価格で競争する場合、均衡状態では 1/2 より高いすべての買付価格および 1/2 より低いすべての売付価格がスニーピング対象となり、合計収益率は 0.060 から 0.042 に低下する。
• スナイパー競争下では、平均Bid-Askスプレッドが、トレーダーが存在しない場合の κ ≈ 0.218 から、スナイパー競争下では 1/e ≈ 0.368 に、単一スナイパー下では 0.590 にまで上昇し、取引者の行動が市場の流動性およびスプレッドに与える影響を示している。