[論文レビュー] A Markov property for set-indexed processes

Raluca M. Balan, Gail Ivanoff|ArXiv.org|Dec 17, 2004

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、集合の半ラティス上での集合インデックス付き確率過程のための新しいマルコフ性を導入し、古典的マーカフ過程を順序のないインデックス集合へ一般化する。遷移系の枠組みを確立し、有限次元分布を完全に特徴付ける生成子を備えた。すべての独立増分過程がこの性質を満たすことを保証し、遷移作用素を用いた体系的構成を可能にする。

ABSTRACT

We consider a type of Markov property for set-indexed processes which is satisfied by all processes with independent increments and which allows us to introduce a transition system theory leading to the construction of the process. A set-indexed generator is defined such that it completely characterizes the distribution of the process.

研究の動機と目的

• 部分的に順序付けられたインデックス集合へ一般化された古典的マーカフ性を有する集合インデックス付き過程のためのマーカフ性を定義すること。
• すべての独立増分過程がこのマーカフ性を満たすように保証すること。
• このマーカフ性を満たす一般過程を遷移系を用いて体系的に構成する方法を開発すること。
• 過程の有限次元分布を完全に特徴付ける生成子を定義すること。
• シャープまたはガーブ・マーカフ性といった従来の定義に見られる技術的複雑性を回避すること。

提案手法

• 半ラティスである集合族によってインデックス付けられる過程のための新しいマーカフ性を提案し、境界シグマ代数に関する条件付き独立性に基づく。
• 関数の適切な定義域上で作用するマーカフ作用素によって定義される遷移系を導入する。
• 生成子を遷移作用素の無限小版として定義し、過程の分布の特徴付けを可能にする。
• 生成子から出発して、繰り返し作用する遷移作用素による経路的構成を用いて過程を構築する。
• テスト関数への作用として生成子の行動を導出するために、フォビニの定理と作用素の微積分を用いる。
• 多次元増分およびネストされた依存関係を扱うために、遷移作用素における再帰的構造を採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 集合インデックス付き過程に対して、古典的マーカフ性を一般化しつつ独立増分性を保つマーカフ性を定義することは可能か？
• RQ2 提案されたマーカフ性を満たす一般の集合インデックス付き過程を体系的に構成する方法は存在するか？
• RQ3 過程の有限次元分布を完全に特徴付ける生成子を定義することは可能か？
• RQ4 技術的取り扱いやすさと一般性の観点から、提案されたマーカフ性はシャープまたはガーブ・マーカフ性といった既存の概念とどのように異なるか？
• RQ5 遷移系の枠組みは、独立増分を有する過程の明示的構成を可能にするか？

主な発見

• すべての独立増分過程が、集合の半ラティス上での提案されたマーカフ性を満たす。
• 遷移系の枠組みにより、生成子から一般の集合インデックス付き過程を体系的に構成できる。
• 生成子は過程の有限次元分布を完全に特徴付けることができ、分布の解析を可能にする。
• 明確に定義された遷移作用素構造を用いることで、シャープおよびガーブ・マーカフ性に伴う技術的問題を回避できる。
• 生成子は遷移作用素の無限小極限として導出され、テスト関数および遷移核を含む積分作用素としてその作用が表現される。
• 証明により、生成子の関数への作用がフォビニの定理と作用素の合成を用いて分解可能であり、一貫性のある経路的構成が確立される。