[論文レビュー] A martingale representation theorem for a class of jump processes

Samuel N. Cohen|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、『素朴な』（bare-hands）アプローチを用いて、補正済み整数値をとる確率測度に焦点を当て、広範なジャンプ過程のクラスに対してマルティングール表現定理を確立する。『地方的』（parochial）確率測度——無限活動のリーヴィ過程や順序付けられたジャンプを含む——を定義し、補正子にやや弱い正規性条件が課された下で、局所マルティングールが連続マルティングール部および補正済みジャンプ測度に関するストキャスティック積分として表現可能であることを証明する。

ABSTRACT

We give a bare-hands approach to the martingale representation theorem for integer valued random measures, which allows for a wide class of infinite activity jump processes, as well as all processes with well-ordered jumps.

研究の動機と目的

• well-ordered jumps や有限活動にとどまらない広範なジャンプ過程クラスへのマルティングール表現定理の拡張を図ること。
• 整数値をとる確率測度に対する表現を、抽象的でない構成的アプローチで埋めるという、従来の理論の空白を補うこと。
• 無限活動ですらも表現可能であるような、新たな確率測度クラスである『地方的』（parochial）測度を定義・特徴づけること。
• 反例を構成することで、すべての整数値をとる確率測度がマルティングール表現をもたないことを示すこと。
• 連続部とジャンプ部の両方の表現を統合し、半マルティングールにおける連続部と補正済みジャンプ測度の両方の結果を統一的に扱う枠組みを構築すること。

提案手法

• 抽象的な一般化に依存せず、直接的な構成によって表現を構築する『素朴な』（bare-hands）アプローチを用いる。
• 論文では、補正子が右決定的で、局所的予測可能性条件を満たす確率測度を『地方的』（parochial）測度と定義する。
• Elliott の well-ordered jumps に対する表現結果を、transfinite induction（超限帰納法）と単調クラスの議論を用いて、地方的測度の広いクラスへと拡張する。
• 連続マルティングール部および補正済みジャンプ測度に関するストキャスティック積分の組み合わせによって表現を構成する。
• 連続部と不連続部の相互作用を扱うために、Dambis–Dubins–Schwarz の定理と伊藤の積の法則（Itō’s product rule）を用いる。
• 地方的条件が必須であることを示すために、反例を構成する。すべての整数値をとる確率測度がマルティングール表現をもつわけではない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限活動のジャンプ過程に対して、抽象的でない構成的メソッドを用いてマルティングール表現定理を確立できるか？
• RQ2 確率測度の補正子にどのような条件を課すと、すべての局所マルティングールがストキャスティック積分として表現可能になるか？
• RQ3 well-ordered jumps の仮定は、このような表現に必須であるか、それともより広いクラスの過程へと緩和可能か？
• RQ4 表現が失敗する自然な確率測度のクラスは存在するか？ もしあるならば、その失敗の背後にある構造的特徴は何か？
• RQ5 半マルティングールにおいて、ジャンプ過程の表現と連続マルティングールの表現を統一的な枠組みで統合できるか？

主な発見

• 本論文は、無限活動のリーヴィ過程や順序付けられたジャンプを含むすべての地方的確率測度に対して、マルティングール表現定理を確立する。
• 表現はプロセスの自然なフィルトレーションにおいて成り立ち、局所マルティングールが連続マルティングール部および補正済みジャンプ測度に関する積分に分解されることを示す。
• 反例を構成することで、すべての整数値をとる確率測度がマルティングール表現をもたないことが示され、地方的条件の必要性が強調される。
• 連続部の quadratic variation が右決定的で、ジャンプ測度が地方的である半マルティングールに対しても結果が拡張され、『弱い』予測可能表現性が得られる。
• 証明技法は超限帰納法と単調クラスの議論に依拠しており、極限順序数に対しても表現が成立することを保証する。
• この枠組みにより、連続部と不連続部の両方を統一的に取り扱える。連続部は古典的な表現を満たし、ジャンプ部は補正済み積分表現を満たす。