[論文レビュー] A mass-lumped mixed finite element method for acoustic wave propagation

Herbert Egger, Bogdan Radu|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非構造格子上での音響波動方程式に、BDM₁–P₀要素を用いた質量 lumping を施した混合有限要素法を提案する。質量 lumping によって1次精度に低下するが、超収束を示し、射影に基づく後処理により、速度および圧力の両方の2次精度の分片的線形近似を回復できる。完全な収束解析と最適収束率を示す数値実験により、妥当性が検証されている。

ABSTRACT

We consider the numerical approximation of acoustic wave propagation in the time domain by a mixed finite element method based on the BDM1-P0 spaces. A mass-lumping strategy for the BDM1 element, originally proposed by Wheeler and Yotov in the context of subsurface flow problems, is utilized to enable an efficient integration in time. By this mass-lumping strategy, the accuracy of the mixed method is formally reduced to first order. We will show, however, that the numerical approximation still carries global second order information, which is expressed as super-convergence of the numerical approximation to certain projections of the true solution. Based on this fact, we propose post-processing strategies for both variables, the pressure and the velocity, which yield piecewise linear approximations of second order accuracy. A complete convergence analysis is provided for the semi-discrete and corresponding fully-discrete approximations, which result from time discretization by the leapfrog method. In addition, some numerical tests are presented to illustrate the efficiency of the proposed approach.

研究の動機と目的

• 非構造格子上での音響波動方程式の効率的で明示的な時間積分スキームの開発。
• BDM₁–P₀ 混合有限要素法における質量 lumping によって生じる精度の低下、特に一階精度への一時的妥当性の喪失の解消。
• 超収束に基づく後処理戦略により、速度および圧力の両方の2次精度を回復すること。
• ループフロッグ時間離散化を用いた、半離散および完全離散スキームの包括的収束解析の提供。
• 標準的な仮定が成り立たない曲面領域や非凸領域においても、本手法の頑健性を示すこと。

提案手法

• 速度と圧力に BDM₁–P₀ 混合有限要素ペアを適用し、非構造三角格子上での H(div) および L² 連続性を保証する。
• Wheeler と Yotov の手法に基づく質量 lumping 策略を適用し、ブロック対角質量行列を生成することで、明示的時間積分を可能にする。
• 地下水流理論からの不正確な楕円型射影を用いて、真の解の射影を定義し、誤差解析を可能にする。
• 元の1次精度混合有限要素解から、速度および圧力の分片的線形近似を再構築する後処理手順を導入する。
• 後処理解をループフロッグスキームと組み合わせ、安定かつ明示的な計算を保証する。
• 収束研究において、異なるメッシュレベル間の誤差を比較するため、メッシュのネスト構造における延長作用素を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BDM₁–P₀ 混合有限要素法における質量 lumping によって1次精度に低下するが、それでも2次収束情報が保持可能か？
• RQ2 非構造格子上での質量 lumping の下で、後処理技術により速度および圧力の両方の2次精度を回復可能か？
• RQ3 標準的仮定が成り立たない曲面領域や非凸領域においても、本手法が最適収束率を維持するか？
• RQ4 質量 lumping、後処理、ループフロッグ時間積分を組み合わせた完全離散スキームの収束挙動はいかなるものか？
• RQ5 メッシュが幾何的に歪み、または曲面境界に正確に適合しない場合でも、後処理解が2次精度を達成可能か？

主な発見

• 質量 lumping のため、標準的な意味で1次精度に低下するが、数値解は真の解の射影に向けて超収束を示す。
• 速度および圧力の近似解は、射影解に向けて2次精度で収束する。すなわち、‖uₕ* − uₕ‖ + ‖pₕ* − pₕ‖ ≤ Ch² が成り立つ。
• 後処理により、分片的線形近似 (ũₕ, ṕₕ) が得られ、その精度は2次である。すなわち、‖u(t) − ũₕ(t)‖ + ‖p(t) − ṕₕ(t)‖ ≤ Ch² が成り立つ。
• ループフロッグ時間離散化を用いた完全離散スキームにおいて、後処理解は ‖u(tⁿ) − ũₕⁿ‖ + ‖p(tⁿ) − ṕₕⁿ‖ ≤ C(h² + τ²) を満たし、空間および時間で最適収束率を確認した。
• 曲面境界を有する波の散乱問題に対する数値実験では、凸性仮定が満たされない状況でも、2次収束（eoc ≈ 2.0）を示した。
• 本手法は非構造格子上でも頑健かつ効率的であり、完全な明示的時間積分を可能にするとともに、後処理により2次精度を達成している。