[論文レビュー] A mathematical characterization of confidence as valid belief

Ryan Martin|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2017

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 34被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、推論モデル（IM）フレームワーク内における信頼区間を有効な信念／妥当性関数として数学的に特徴づけるものであり、任意の名目的信頼域が有効なIMの妥当性領域に対応することを示している。主な貢献は、標準的な被覆性および適合性条件を満たす任意の信頼域に対して、その中身に含まれる妥当性領域を持つIMが存在することを示す完全クラス定理であり、確率的解釈に対する厳密で直感的な代替案を提供する。

ABSTRACT

Confidence is a fundamental concept in statistics, but there is a tendency to misinterpret it as probability. In this paper, I argue that an intuitively and mathematically more appropriate interpretation of confidence is through belief/plausibility functions, in particular, those that satisfy a certain validity property. Given their close connection with confidence, it is natural to ask how a valid belief/plausibility function can be constructed directly. The inferential model (IM) framework provides such a construction, and here I prove a complete-class theorem stating that, for every nominal confidence region, there exists a valid IM whose plausibility regions are contained by the given confidence region. This characterization has implications for statistics understanding and communication, and highlights the importance of belief functions and the IM framework.

研究の動機と目的

• 信頼区間の解釈に関する長年の曖昧さを解消し、確率的解釈の代わりに数学的に厳密かつ直感的に整合性のある代替案を提供すること。
• 信念関数および妥当性関数——特に有効なIM——が、確率分布よりも信頼を表現するためのより適切な数学的枠組みであることを示すこと。
• 推論モデルフレームワークを通じて、信頼域と妥当性域の間の正式な関係を確立すること。
• 任意の有効な信頼域が、有効なIMの妥当性領域として表現可能であることを証明し、信頼区間の「妥当性区間」としての使用を正当化すること。
• 確率的解釈による誤解を排除し、信念に基づき数学的に整合性のある枠組みに置き換えることで、統計的コミュニケーションおよび理解を強化すること。

提案手法

• 本稿は、パラメータに関する不確実性を表現するための確率的集合と信念／妥当性関数を構築する推論モデル（IM）フレームワークを採用している。
• 有効なIMは、すべてのパラメータ値に対して名目的被覆確率条件（1）を満たす妥当性領域を持つものとして定義される。
• コアとなる構成は、モデルに基づく関連性（例：分布関数に対して $X = F^{-1}(U)$）を介してデータと確率的集合を結びつけることである。
• Dvoretzky–Kiefer–Wolfowitz（DKW）不等式を用いて、すべての真の分布にわたる一様被覆性を保証する経験的分布関数の信頼帯を定義する。
• パラメータ値 $F$ に対する妥当性断面は、$\mathsf{pl}_{x}(\{F\}) = 1 - \mathsf{P}_{U}\{S_{\alpha(x,F)}\}$ として計算され、モンテカルロシミュレーションを用いて評価される。
• 完全クラス定理が証明されている：被覆条件およびやや弱い適合性条件を満たす任意の信頼域 $C_\alpha$ に対して、その中身に含まれる妥当性領域を持つ有効なIMが存在する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 信頼区間を確率分布の代わりに信念／妥当性関数を用いて数学的に厳密に特徴づけることは可能か？
• RQ2 信念関数が有効な信頼域に対応するためには、どのような数学的性質を満たす必要があるか？
• RQ3 すべての信頼域が、有効な推論モデルの妥当性領域として表現可能か？
• RQ4 推論モデルフレームワークは、従来のfiducialやベイズ的手法と比較して、信頼を表現する上でどのように異なるか？
• RQ5 被覆性を保ちつつ、標準的信頼域よりも一様に効率的（つまり、より小さい）な妥当性域を構築することは可能か？

主な発見

• 被覆条件（1）およびやや弱い適合性条件を満たす任意の名目的信頼域は、有効な推論モデルの妥当性領域に対応する。
• IMフレームワークから得られる妥当性域は、常にそれに対応する信頼域に含まれるため、より効率的であることが示唆される。
• 799件の観測値を持つ経験的分布関数において、与えられた分布 $F$ に対するIMベースの妥当性域は、DKW不等式から得られる95％信頼帯よりも厳密に小さくなった。
• 神経データの例では、95％下位信頼帯上にある点に対して、妥当性断面 $\mathsf{pl}_{x}(\{F\}) \approx 0$ が得られ、この点が95％妥当性域から除外されていることが示された。これにより、IM領域がより狭いことが確認された。
• 完全クラス定理により、IMフレームワークは有効であるだけでなく、より小さい領域で同じかそれ以上の被覆性を達成できるという意味で最適であることが示された。
• 結果として、「妥当性区間」としての用語の使用が、信頼区間の自然で直感的かつ数学的に整合性のある解釈として正当化された。確率的言語による誤解を排除する代替案が得られた。