[論文レビュー] A mathematical explanation via "intelligent" PID controllers of the strange ubiquity of PIDs

B. D’Andrea Novel, Michel Fliesś+3 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2010

Advanced Control Systems Optimization参考文献 2被引用数 20

ひとこと要約

本論文は、サンプリング時間における古典的PIDコントローラの動作が、『知能型』PIDコントローラーの構造的ダイナミクスを近似することを示すことにより、古典的PIDコントローラーが広く用いられている理由を数学的に説明する。主な発見は、適切に調整された古典的PIDコントローラーが、ゲインを通じて未知のシステム構造を暗黙的に補償しているが、知能型PIDコントローラーは、システム同定を必要とせず、より優れたロバスト性、故障耐性、および簡単な調整が可能である点にある。

ABSTRACT

The ubiquity of PID controllers in the industry has remained mysterious until now. We provide here a mathematical explanation of this strange phenomenon by comparing their sampling with the the one of "intelligent" PID controllers, which were recently introduced. Some computer simulations nevertheless confirm the superiority of the new intelligent feedback design.

研究の動機と目的

• 非線形系や複雑な系に対して理論的根拠を欠いているにもかかわらず、なぜ古典的PIDコントローラーが産業応用でこれほど広く使われているのかという長年の謎を解明すること。
• 最近開発された『知能型』PIDコントローラー（モデルフリー制御理論に基づく）と古典的PIDコントローラーとの間の数学的関係を確立すること。
• 古典的PIDコントローラーの有効性が、サンプリングされた状態で知能型コントローラーの構造的適応を近似できるという点に起因することを示すこと。
• 非線形性、パrameter変動、故障に対して、古典的PIDコントローラーが失敗するのに対し、知能型PIDコントローラーが優れたロバスト性を示す点を強調すること。
• 知能型PIDコントローラーのロバスト性とシンプルさを踏まえ、制御工学教育および実務におけるパラダイムシフトを提唱すること。

提案手法

• システムを $ y^{(\nu)} = F + \alpha u $ と表す現象学的モデルを用い、$ \nu = 1 $ または $ 2 $ であり、$ F $ は数値微分器を用いてリアルタイムで推定する。
• 推定された $ F $ と $ \alpha $ を直接用いて制御入力を計算する『知能型』PID（i-PID）コントローラーを導入：$ u = \frac{1}{\alpha}(-F + \ddot{y}^* + K_P e + K_I \int e + K_D \dot{e}) $。
• 古典的および知能型コントローラーの粗い時間サンプリングを行い、それらの離散時間行動を比較する。
• リーマン和近似を用いて、古典的PIDゲイン（$ k_p, k_i, k_d $）と知能型コントローラーのゲイン（$ K_P, K_I, K_D $）の明示的な代数的対応関係を導出する。
• 非線形系 $ \dot{y} + y^3 = 2u $ に適用し、さまざまな条件下で古典的PIとi-PIコントローラーを比較する。
• 数値シミュレーションを用いて、ステップ変更、パrameter変動、アクチュエータ故障下での性能を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形系や複雑な系に対して理論的根拠を欠いているにもかかわらず、なぜ古典的PIDコントローラーが産業応用でこれほど広く使われているのか？
• RQ2 古典的PIDコントローラーのゲインは、未知の非線形系の構造的ダイナミクスとどのように関係しているのか？
• RQ3 古典的PIDコントローラーのサンプリング動作が、知能型PIDコントローラーの動作をどの程度近似するのか？
• RQ4 知能型PIDコントローラーは、ロバスト性、調整、故障耐性の観点で古典的PIDコントローラーにどのような利点を提供するのか？
• RQ5 古典的PIDコントローラーの成功は、知能型制御原理の顕在的近似として数学的に説明可能か？

主な発見

• サンプリングされた古典的PIおよびPIDコントローラーの動作は、知能型PIDコントローラーの構造的適応を近似しており、その実用的成功を説明する。
• 古典的PIDゲインと知能型コントローラーのゲインとの間には、$ k_p = K_D / (\alpha h) $、$ k_i = K_P / (\alpha h) $、$ k_{ii} = K_I / (\alpha h) $、および $ k_d = -1 / (\alpha h) $ という数学的関係がある。
• 知能型PIDコントローラーは、システム同定や複雑な調整ルールを必要とせず、それに対し古典的PIDコントローラーは、複雑なヒューリスティック手法に依存している。
• 大規模なステップ変更やシステムパラメータの変動が生じた場合、古典的PIコントローラーは著しく性能を低下させるが、i-PIは安定した性能を維持する。
• アクチュエータ故障（例：1サンプルあたり0.4％の出力低下）が生じた場合、i-PIコントローラーは古典的PIコントローラーに比べてはるかに優れた故障耐性を示す。
• α = 1、KP = 6、KI = 9 のi-PIコントローラーは、異なる運用条件に対してもキャリブレーションを必要とせず、一方で古典的PIコントローラーはシステム変更後に再調整が必要であった。