[論文レビュー] A Mathematical Model for Optimal Decisions in a Representative Democracy

Malik Magdon‐Ismail, Lirong Xia|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2018

Game Theory and Voting Systems被引用数 6

ひとこと要約

本論文は、代表的民主主義を分類器のアンサンブルとしてモデル化する数学的モデルを提示し、固定された投票コストのもとで、複数のノイズのある問題における最適な意思決定が、選挙人を一定サイズのグループから選ぶことで達成され、選挙人の数が有権者数に線形に比例することを示している。また、コストと利益が多項式的である場合、グループサイズはほぼ線形に増加する。このモデルは一般条件下で意思決定の正確性に一貫性を示す。

ABSTRACT

Direct democracy is a special case of an ensemble of classifiers, where every person (classifier) votes on every issue. This fails when the average voter competence (classifier accuracy) falls below 50%, which can happen in noisy settings where voters have only limited information, or when there are multiple topics and the average voter competence may not be high enough for some topics. Representative democracy, where voters choose representatives to vote, can be an elixir in both these situations. Representative democracy is a specific way to improve the ensemble of classifiers. We introduce a mathematical model for studying representative democracy, in particular understanding the parameters of a representative democracy that gives maximum decision making capability. Our main result states that under general and natural conditions, 1. Representative democracy can make the correct decisions simultaneously for multiple noisy issues. 2. When the cost of voting is fixed, the optimal representative democracy requires that representatives are elected from constant sized groups: the number of representatives should be linear in the number of voters. 3. When the cost and benefit of voting are both polynomial, the optimal group size is close to linear in the number of voters. This work sets the mathematical foundation for studying the quality-quantity tradeoff in a representative democracy-type ensemble (fewer highly qualified representatives versus more less qualified representatives).

研究の動機と目的

• 代表的民主主義を分類器アンサンブルとして分析する厳密な数学的枠組みを確立すること。
• 高ノイズ・低熟練度環境において、代表的民主主義が直接民主主義を上回るかどうかという根本的問いに応えること。
• さまざまなコスト構造のもとで意思決定能力を最大化する最適なグループサイズと代表者数を定量化すること。
• 代表システムにおける「質」と「量」のトレードオフを形式化すること：少数の高度に熟練した代表者か、多数のやや熟練した代表者か。
• コンドルセ陪審員法則の理論的基盤を、複数の独立した問題に対する代表システムに拡張すること。

提案手法

• 各グループが熟練度に基づいて代表者を選出し、代表者の意思決定が過半数による投票によって決定される、代表的民主主義を分類器アンサンブルとしてモデル化する。
• 各問題における熟練度確率の合計が最大となる選択関数（max-sum, ms）を導入し、その合計が最大の有権者を代表者として選ぶ。
• 独立した問題とは、各有権者の各問題における熟練度が、(1/2, 1] のサポートを持つ分布から独立に抽出される問題を指す。
• 測度の集中を用いて、グループサイズ K が大きい場合、代表者の熟練度ベクトルがすべての問題において最大の値に近づくことを示す。
• 大数の法則と尾部バウンドを用いて、K が増加するにつれて、代表者が各問題で 1/2 + ε/2 以上の熟練度を持つ確率が 1 に近づくことを証明する。
• グループサイズ K の関数としての、単一問題における限界熟練度の下界を導出し、それが K に対して単調増加し、極限で一貫性を示すことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代表的民主主義における意思決定の正確性を最大化する最適な代表者数は何か？
• RQ2 有権者をどのように最適にグループに分割すれば、集団的意思決定の質が最大化されるか？
• RQ3 投票コストが固定されている場合と、コストと利益が有権者数の多項式的関数である場合の両方において、最適なグループサイズは何か？
• RQ4 代表的民主主義は、複数の独立的かつノイズの多い問題において、一貫して正しい意思決定を下せるか？
• RQ5 意思決定の正確性という観点から、max-sum 代表者選択ルールは他の選択メカニズムと比べてどのように異なるか？

主な発見

• 固定された投票コストのもとでは、最適な代表的民主主義は、代表者を一定サイズのグループから選ぶ必要があり、その結果、代表者の数は有権者数に線形に比例する。
• 投票コストと利益の両方が有権者数の多項式的関数である場合、最適なグループサイズは Ω(n / log n) であり、有権者数にほぼ線形に増加する。
• max-sum 代表的民主主義は独立した問題において一貫性を示す：グループサイズ K が増加するにつれて、代表者が各問題で 1/2 + ε/2 以上の熟練度を持つ確率は 1 に近づく。
• 代表者の限界単一問題熟練度はグループサイズ K に対して単調に増加し、K > log(ε/(1+ε)) / log(1−P) のとき 1/2 を超える。ここで P は個々の問題の確率境界の積である。
• このモデルは、平均有権者の熟練度が 50% 未満であっても、選ばれた代表者の熟練度を高めることで、すべての問題に対して同時に正しい意思決定を達成できることを証明している。
• この枠組みは、「質」と「量」のトレードオフを定量的に基礎づけ、グループ選択による代表者の熟練度の向上が、低い平均有権者熟練度を補うことができるという点を示している。