[論文レビュー] A mathematical model for the Fermi weak interactions

Laurent Amour, Benoît Grébert+1 more|ArXiv.org|Nov 21, 2006

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 14被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、フェルミの弱い相互作用をフェルミオンのフォック空間における現在-現在結合を用いて厳密な数学的モデルとして定式化し、微小な結合定数に対して基底状態の存在を証明するとともに、閾値から離れた領域における絶対連続スペクトルの確立を示した。赤外発散の切断や正則化を一切要せず、質量零粒子が存在する場合でさえも成り立つ。

ABSTRACT

We consider a mathematical model of the Fermi theory of weak interactions as patterned according to the well-known current-current coupling of quantum electrodynamics. We focuss on the example of the decay of the muons into electrons, positrons and neutrinos but other examples are considered in the same way. We prove that the Hamiltonian describing this model has a ground state in the fermionic Fock space for a sufficiently small coupling constant. Furthermore we determine the absolutely continuous spectrum of the Hamiltonian and by commutator estimates we prove that the spectrum is absolutely continuous away from a small neighborhood of the thresholds of the free Hamiltonian. For all these results we do not use any infrared cutoff or infrared regularization even if fermions with zero mass are involved.

研究の動機と目的

• 現在-現在結合に基づくフェルミの弱い相互作用理論の数学的に厳密な定式化を構築すること。
• ミューオン崩壊過程を対象として、フェルミオンのフォック空間におけるハミルトニアンのスペクトル性質を分析すること。
• 十分に小さな結合定数に対して基底状態の存在を確立すること。
• ハミルトニアンの絶対連続スペクトルを特徴づけ、閾値を除いて記述すること。
• 質量零フェルミオンが存在する場合でさえも、赤外切断や正則化の必要性を排除すること。

提案手法

• 量子電磁力学に類似した現在-現在結合を用いて弱い相互作用ハミルトニアンを定式化する。
• 電子、陽電子、ニュートリノの多体系状態を記述するために、フェルミオンのフォック空間フレームワークを用いる。
• スペクトル性質の分析とハミルトニアン内での相互作用の制御に、交換子推定を適用する。
• 微小な結合定数に対して、変分法を用いた関数解析的技法により基底状態の存在を証明する。
• 閾値エネルギー付近におけるハミルトニアンの構造を検討することでスペクトルを分析する。
• 赤外正則化を回避する非摂動的アプローチを採用し、質量零粒子が存在する場合でさえも有効である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フェルミの弱い相互作用モデルのハミルトニアンは、フェルミオンのフォック空間において微小な結合定数に対して基底状態をもつか？
• RQ2 このモデルにおけるハミルトニアンの絶対連続スペクトルの構造はいかなるものか？
• RQ3 特に質量零フェルミオンが存在する場合に、赤外切断なしでスペクトル解析が可能か？
• RQ4 粒子生成の閾値エネルギー付近でのスペクトルはどのように振る舞うか？
• RQ5 交換子推定は、ハミルトニアンのスペクトル性質をどの程度制御できるか？

主な発見

• 十分に小さな結合定数に対して、ハミルトニアンはフェルミオンのフォック空間に基底状態をもつ。
• ハミルトニアンの絶対連続スペクトルは特徴づけられ、自由ハミルトニアンの閾値の小さな近傍を除いて空でないことが示された。
• 赤外切断や正則化を一切用いずにスペクトル解析が行われ、質量零フェルミオンが存在する場合でも成立した。
• 交換子推定を用いて、閾値の近くの小さな領域を除き、スペクトルが絶対連続であることを証明した。
• モデルは、ミューオンが電子、陽電子、ニュートリノに崩壊する過程を数学的に厳密な枠組みでうまく記述できた。
• 同じ現在-現在結合形式を用いる限り、他の弱い崩壊過程に対しても結果が拡張可能である。