[論文レビュー] A mathematical proof of the existence of trends in financial time series

Michel Fliess, Cédric Join|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2009

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 3被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、非標準解析とカルティエ＝ペリンの定理を用いて、金融時系列における持続的トレンドの存在を証明し、ランダムウォーク仮説および効率的市場仮説に挑戦する。ブラック・ショールズモデルの仮定とは矛盾するが、ランダムウォーク行動と共存するトレンドを検出するために、ローパスフィルタリングおよび制御理論的手法を応用する。

ABSTRACT

low-pass filters, nonstandard analysis, operational calculus. We are settling a longstanding quarrel in quantitative finance by proving the existence of trends in financial time series thanks to a theorem due to P. Cartier and Y. Perrin, which is expressed in the language of nonstandard analysis (Integration over finite sets, F. & M. Diener (Eds): Nonstandard Analysis in Practice, Springer, 1995, pp. 195–204). Those trends, which might coexist with some altered random walk paradigm and efficient market hypothesis, seem nevertheless difficult to reconcile with the celebrated Black-Scholes model. They are estimated via recent techniques stemming from control and signal theory. Several quite convincing computer simulations on the forecast of various financial quantities Our aim is to settle a severe and longstanding quarrel between 1. the paradigm of random walks 1 and the related efficient market hypothesis [15] which are the bread and butter of modern financial mathematics,

研究の動機と目的

• 定量的ファイナンスにおける長年の議論である、金融時系列にトレンドが存在するかどうかを解消すること。
• トレンドの存在をランダムウォーク仮説および効率的市場仮説の枠組みと調和させること。
• ブラック・ショールズモデルの仮定（持続的トレンドなし）を挑戦すること。
• 非標準解析および有限集合上の積分を用いて、トレンドの数学的基盤を提供すること。
• 信号処理および制御理論的手法を用いて、このようなトレンドの検出可能性を示すこと。

提案手法

• 非標準解析におけるP.カルティエとY.ペリンの定理を用いて、有限集合上の積分を定義する。
• ローパスフィルタリング手法を用いて、金融時系列から長期的成分を抽出する。
• 非標準解析の文脈において一般化関数および微分方程式を取り扱うために、作用素的計算を適用する。
• 制御および信号理論の手法を用いて、ノイズの多い金融データにおけるトレンドの推定と検証を行う。
• コンピュータシミュレーションを用いて、さまざまな金融数量におけるトレンドの検出可能性と一貫性を示す。
• 離散的・有限な時系列におけるトレンドの概念を形式化するために、非標準解析の枠組み内に立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムウォーク仮説の支配下にあっても、金融時系列に持続的トレンドが存在するのか？
• RQ2 効率的市場仮説およびランダムウォークモデルと共存するが、矛盾を生じさせないか？
• RQ3 トレンドが存在する場合、ブラック・ショールズモデルの仮定はどの程度破綻するのか？
• RQ4 非標準解析は、有限で離散的な金融データにおけるトレンドの検出に、厳密な数学的基盤を提供できるか？
• RQ5 ローパスフィルタリングおよび制御理論的手法は、ノイズの多い金融時系列からトレンドを分離・推定するために、どの程度有効なのか？

主な発見

• この論文は、非標準解析を用いて、金融時系列におけるトレンドの存在を数学的に証明する。
• トレンドはランダムウォーク行動および効率的市場仮説と共存することが示され、ブラック・ショールズモデルの仮定に挑戦する。
• ローパスフィルタリングおよび信号処理手法の応用により、金融データから検出可能な長期的成分が明確に分離された。
• コンピュータシミュレーションにより、さまざまな金融数量におけるトレンド推定の実現可能性と一貫性が示された。
• カルティエとペリンの定理を非標準解析に応用することで、有限で離散的な時系列におけるトレンドの定義に厳密な枠組みが提供された。
• 結果から、金融時系列には従来のモデルが見過ごしている決定論的で非ランダムな成分が含まれている可能性がある。