[論文レビュー] A mathematical theory of anyon condensation

Liang Kong|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2013

Quantum many-body systems被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、2次元トポロジカルな物質相における任意ons（anyons）の凝縮を、ブートストラップ的手法を用いて数学的枠組みとして構築する。凝縮後の相の任意ons（モジュラーテンソルカテゴリ D で記述される）が、元の相（C で記述される）における連結で可換かつ分離可能な代数 A から生じることを示している。主な結果は、D が C における局所 A-加群のカテゴリと同値であること、そして凝縮過程が自然に A-加群励起をもつギャップを持つ界面（domain wall）を生じることである。

ABSTRACT

Instead of constructing anyon condensation in various concrete models, we take a bootstrap approach by considering an abstract situation, in which an anyon condensation happens in a 2-d topological phase with anyonic excitations given by a modular tensor category C; and the anyons in the condensed phase are given by another modular tensor category D. By a bootstrap analysis, we derive a relations between anyons in D-phase and anyons in C-phase from natural physical requirements. It turns out that the vacuum (or the tensor unit) A in D-phase is necessary to be a connected commutative separable algebra in C, and the category D is equivalent to the category of local A-modules as modular tensor categories. This condensation also produces a gapped domain wall with wall excitations given by the category of A-modules in C. More general situation is also discussed in this paper. We will also show how to determine such algebra A from the initial and final data. Multi-condensations and 1-d condensations will also be briefly discussed. Examples will be given in the toric code model, Kitaev quantum double models, Levin-Wen types of lattice models and some chiral topological phases.

研究の動機と目的

• 特定のモデルに依存しない、2次元トポロジカルな物質相における任意ons凝縮の一般的数学的枠組みを確立すること。
• モジュラーテンソルカテゴリ内で凝縮を支配する必要十分な代数的構造（連結で可換かつ分離可能な代数）を同定すること。
• 凝縮後の相の任意onsカテゴリ D と元のカテゴリ C における局所 A-加群のカテゴリとの同値性を導出すること。
• このような凝縮が、A-加群励起をもつギャップを持つ界面（domain wall）をどのように生じるかを示すこと。
• 初期および最終のトポロジカルなデータから凝縮代数 A を体系的に特定する手法を提供すること。

提案手法

• 物理的整合性条件に基づくブートストラップ的手法を用い、任意ons凝縮に課される制約を導出すること。
• 凝縮後の真空状態を、元のモジュラーテンソルカテゴリ C 内の連結で可換かつ分離可能な代数 A として特定すること。
• 凝縮後の相の任意onsカテゴリ D が、元のカテゴリ C 内の局所 A-加群のカテゴリと同値であることを確立すること。
• カテゴリ的双対性および加群カテゴリ理論を用いて、凝縮過程の構造を特徴づけること。
• A-加群カテゴリからギャップを持つ界面（domain wall）の構造を導出し、界面の励起が同様に A-加群カテゴリによって記述されることを示すこと。
• 複数の凝縮や1次元的凝縮への拡張を試み、トーリックコード、キタエフ量子双対、レヴィン＝ヴェンモデルなどの具体例を用いて説明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 元のモジュラーテンソルカテゴリ C 内で、有効な任意ons凝縮過程に対応する代数的構造は何か？
• RQ2 凝縮後の相の任意onsカテゴリ D は、元のカテゴリ C と数学的にどのように関係しているか？
• RQ3 凝縮過程で生じるギャップを持つ界面（domain wall）のカテゴリ的記述は何か？
• RQ4 初期および最終のトポロジカルなデータから、凝縮代数 A をどのように再構成できるか？
• RQ5 複数凝縮や1次元的凝縮の状況では、どのような一般化が生じるか？

主な発見

• 凝縮後の相の真空状態は、必ず元のモジュラーテンソルカテゴリ C 内の連結で可換かつ分離可能な代数 A である。
• 凝縮後の相の任意onsカテゴリ D は、元のカテゴリ C 内の局所 A-加群のカテゴリと、モジュラーテンソルカテゴリとして同値である。
• 凝縮過程は自然に、その励起が C 内の A-加群カテゴリによって記述されるギャップを持つ界面（domain wall）を生じる。
• 物理的整合性から導かれるカテゴリ的制約を用いることで、初期および最終のトポロジカルなデータから凝縮代数 A を特定できる。
• 本フレームワークは、複数凝縮や1次元的凝縮へと一般化可能であり、一貫したカテゴリ的記述が得られる。
• トーリックコード、キタエフ量子双対モデル、レヴィン＝ヴェン格子モデル、およびホロノミックなトポロジカル相における明示的例が、理論的予測を確認している。