[論文レビュー] A Mathematical Theory of Co-Design

Andrea Censi|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2015

Manufacturing Process and Optimization参考文献 22被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、機能性とリソースをスコット連続な適合関係を有する完全な部分順序としてモデル化する、モノトーン共設計問題（MCDP）を用いた、複雑系の共設計の数学的理論を提唱する。最小固定点反復を用いた体系的解法により、非凸的・非微分可能な設定下でも、相互依存するサブシステムの厳密かつ最適な設計が可能となる。

ABSTRACT

One of the challenges of modern engineering, and robotics in particular, is designing complex systems, composed of many subsystems, rigorously and with optimality guarantees. This paper introduces a theory of co-design that describes "design problems", defined as tuples of "functionality space", "implementation space", and "resources space", together with a feasibility relation that relates the three spaces. Design problems can be interconnected together to create "co-design problems", which describe possibly recursive co-design constraints among subsystems. A co-design problem induces a family of optimization problems of the type "find the minimal resources needed to implement a given functionality"; the solution is an antichain (Pareto front) of resources. A special class of co-design problems are Monotone Co-Design Problems (MCDPs), for which functionality and resources are complete partial orders and the feasibility relation is monotone and Scott continuous. The induced optimization problems are multi-objective, nonconvex, nondifferentiable, noncontinuous, and not even defined on continuous spaces; yet, there exists a complete solution. The antichain of minimal resources can be characterized as a least fixed point, and it can be computed using Kleene's algorithm. The computation needed to solve a co-design problem can be bounded by a function of a graph property that quantifies the interdependence of the subproblems. These results make us much more optimistic about the problem of designing complex systems in a rigorous way.

研究の動機と目的

• ロボット工学を含む、サブシステムが再帰的共設計制約を負う複雑で相互依存的なシステムの設計課題に取り組む。
• 適合関係を伴う機能性空間、実装空間、リソース空間のタプルとして共設計問題を形式化する。
• 任意に接続された共設計問題を最適性保証とともに解くための原則的フレームワークを構築する。
• 最小リソース解が存在し、体系的に計算可能であるための条件を確立する。
• 単一サイクル共設計の先行研究を、フィードバックループを含む任意のグラフ構造的相互接続に一般化する。

提案手法

• 各設計問題を、機能性空間、実装空間、リソース空間間の適合関係としてモデル化する。
• 機能性とリソースが完全部分順序であり、適合関係が単調かつスコット連続であるモノトーン共設計問題（MCDP）を定義する。
• MCDPの解を、最小リソースのアンチチェーン（パレートフロント）上の、方程式系の最小固定点として表現する。
• クレインの固定点反復を用い、アンチチェーンの格子の下部要素から解を計算する。
• サブ問題間の相互依存度を測るグラフ的性質を用いて、計算複雑度を限定する。
• 抽象解釈の技術、例えば混沌的および非同期反復を活用し、収束を加速する可能性を有する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複雑系における相互依存するサブシステム間の共設計制約は、最適性保証とともに形式的にどのようにモデル化され、解かれるか？
• RQ2 多目的的・非凸的共設計問題において、最小リソース解の存在と計算可能性を保証する数学的構造は何か？
• RQ3 フィードバックを含む任意の接続構造に対して、MCDPに対して体系的な解法手順を定義可能か？
• RQ4 共設計図における相互依存構造は、問題の解法における計算複雑度にどのように影響するか？
• RQ5 抽象解釈から既存の手法を、多値的かつ一意でない解を有するMCDPに適応可能か？

主な発見

• モノトーン共設計問題（MCDP）は、フィードバックを含む任意の接続に対して閉じており、複雑系設計に耐性があることを保証する。
• MCDPの解は、最小リソースのアンチチェーン（パレートフロント）として特徴づけられ、アンチチェーン上のスコット連続作用素の最小固定点である。
• 固定点反復は有限ステップで収束し、サブシステム間の相互依存度を測るグラフ的性質によって複雑度が限定される。
• MCDPは、一意な解を持つ連続的単調部分順序プログラム（CMPOP）を一般化しており、多値適合関係により複数の最小解を許容する。
• 本フレームワークにより、再帰的共設計制約を有するロボットプラットフォームを含む、異種的・多ドメイン系の体系的かつ最適な設計が可能となる。
• 最適化問題が非凸的・非微分可能かつ連続空間上に定義されていなくても、完全かつ構成可能な解法手順を有する。