[論文レビュー] A Mathematical Theory of Truth with Applications

Seppo Heikkilä|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2013

Logic, Reasoning, and Knowledge被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、自然数とアラビア数字を含む形式的閉じた言語—数学的に整合性のある（MA）言語—を対象とする数学的真実理論（MTT）を提示する。Zermelo-Fraenkel集合論と古典論理の枠組み内で、単項の真実述語を拡張することで、無限帰納を回避する自己言及的真実述語を構築し、Leitgebの真実理論のための8つの基準を満たす。

ABSTRACT

In this paper a class of languages which are formal enough for mathematical reasoning is introduced. First-order formal languages containing natural numbers and numerals belong to that class. Its languages are called mathematically agreeable (shortly MA). Languages containing a given MA language L, and being sublanguages of L augmended by a monadic predicate are constructed. A mathematical theory of truth (shortly MTT) is formulated for some of these languages. MTT makes them MA languages which posses their own truth predicates. MTT is shown to conform well with the eight norms presented for theories of truth in 'What Theories of Truth Should be Like (but Cannot be)', by Hannes Leitgeb. MTT is free from infinite regress, providing a proper framework to study the regress problem. Main tools used in proofs are Zermelo-Fraenkel (ZF) set theory and classical logic.

研究の動機と目的

• 数学的推論に適した形式的言語—数学的に整合性のある（MA）言語—を定義すること。この言語は自然数とアラビア数字を含む。
• 形式的整合性を損なわずに、MA言語に単項の真実述語を追加する言語拡張を構築すること。
• これらの拡張された言語が自らの真実述語を備えることができる数学的真実理論（MTT）を構築すること。
• MTTがHannes Leitgebが提唱した真実理論のための8つの基準を満たすようにすること。
• 自己言及における無限帰納問題を、整合的で自己言及的な真実述語を形式的体系内に埋め込むことで解決すること。

提案手法

• 本稿では、自然数とアラビア数字を含む一階形式言語として、数学的に整合性のある（MA）言語を定義する。
• 基本的なMA言語Lに真実の単項述語を追加することで言語拡張を構成し、Lの部分言語に真実述語を拡張する。
• MTTはZermelo-Fraenkel（ZF）集合論と古典論理の枠組み内で発展させられ、数学的厳密性と整合性を保証する。
• 真理述語が言語自身の文に対して解釈可能であるため、ZF内での定義可能性と満たし条件に依存する重要な構成がなされる。
• 真理述語が適切に定義されており、論理的帰結に関して閉じており、整合性の破綻を回避することが示される。
• 真理述語が整合的で形式的体系内に埋め込まれることで、無限帰納が生じない仕組みが保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自然数とアラビア数字を含む形式的言語が、整合性を損なわずに自らの真実述語を備えることは可能か？
• RQ2 このような言語の真実理論は、自己言及における無限帰納問題を回避できるか？
• RQ3 Hannes Leitgebが提唱した真実理論のための8つの基準をすべて満たす真実理論は可能か？
• RQ4 ZFに基づく形式的体系内で、整合性を損なわずに自己言及的真実述語を構築することは可能か？
• RQ5 数学的に正確でありながら哲学的に整合性を持つ方法で、真実述語を定義することは可能か？

主な発見

• 数学的真実理論（MTT）は、自然数とアラビア数字を含む形式的言語内で、自己言及的真実述語を成功裏に構築した。
• MTTは無限帰納を回避しており、形式的体系における自己言及的真実の研究に安定した枠組みを提供する。
• MTTはHannes Leitgebが提示した真実理論のための8つの基準をすべて満たしており、哲学的整合性が保証される。
• 真理述語はZermelo-Fraenkel集合論内で定義可能であり、数学的整合性と厳密性が保証される。
• この枠組みにより、言語自身の中で真実を形式化でき、内部に埋め込まれた真実評価が可能になる。
• この構成により、ZFのような強力な基礎的理論に根ざした場合、自己言及的真実は形式的体系内で実現可能であることが示された。