[論文レビュー] A mathematicians' view of geometrical unification of classical physics in high-dimensional space-time

Michel Vaugon, Benoit Vaugon+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2010

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、5次元のローレンツ多様体を用いて、高次元時空における一般相対性理論と電磁気学の微分幾何的統一を提示する。電荷を帯びた流体の力学は、曲率およびバイリッヒ恒等式から純粋に導かれる。アインシュタインテンソルの再解釈と「型」と「剛性」という幾何的概念の導入により、4次元におけるアインシュタイン＝マクスウェル＝ローレンツ方程式が5次元での測地線運動の射影として得られ、追加の物理的仮定を一切用いずに、古典的物理学の完全な幾何的定式化が達成される。

ABSTRACT

We propose in this paper a mathematicians' view of the Kaluza-Klein idea of a five dimensional space-time unifying gravitation and electromagnetism, and extension to higher-dimensional space-time. By considering the classification of positive Einstein curvature tensors and the classical Cauchy-Choquet-Bruhat theorems in general relativity, we introduce concepts of types and rigidity. Then, abandoning the usual requirement of a Ricci-flat five dimensional space-time, we show that a unified geometrical frame can be set for gravitation and electromagnetism, giving, by projection on the classical 4-dimensional space-time, the known Einstein-Maxwell-Lorentz equations for charged fluids. Thus, although not introducing, at least at this stage, new physics, we get a very aesthetic presentation of classical physics in the spirit of general relativity. The usual physical concepts, such as mass, energy, charge, trajectory, Maxwell-Lorentz law, are shown to be only various aspects of the geometry, for example curvature, of space-time considered as a Lorentzian manifold; that is no physical objects are introduced in space-time, no laws are given, everything is only geometry. We will then extend this setting to more than 5 dimensions, giving a precise mathematical frame for possible additional physical effects, preserving gravitation and electromagnetism.

研究の動機と目的

• 古典的重力と電磁気学の統一を微分幾何学的手法で再定式化し、便宜的な物理的仮定を避ける。
• カルツァ＝クライン理論を拡張するため、5次元でのリッチ平坦性の要請を放棄し、電荷を帯びた流体の力学を自然に幾何学的に導出可能にする。
• ローレンツ多様体に対して「型」と「剛性」という数学的概念を導入し、エネルギー運動量構造の分類と物理的実現可能性の制約を可能にする。
• 5次元の枠組みを5+m次元に一般化し、電磁気学と重力を保存しつつ、隠れた圧力やポテンシャルを許容する。
• すべての古典的法則—運動方程式、保存則、マクスウェル＝ローレンツ力学—が高次元時空におけるバイリッヒ恒等式の幾何的帰結として生じることを示す。

提案手法

• 対称2次テンソルの正定性条件を用いて、アインシュタインテンソルの型によるローレンツ多様体の分類を行い、エネルギー運動量構造の幾何的分類を確立する。
• カウチ＝チョケット＝ブロワの定理を適用し、初期値問題を解析し、ローレンツ多様体の剛性定理を導出し、因果性と幾何的制約を結びつける。
• 5次元における「v-完全流体」を、時間的ベクトル場の二乗に比例するエネルギー運動量テンソルを持つ幾何的対象として定義し、ダスト流体の一般化とする。
• 4次元への測地線運動の射影が、電荷を帯びた流体に対してアインシュタイン＝マクスウェル＝ローレンツ方程式を導く5次元時空計量を構成する。
• バイリッヒ恒等式 ∇·G = 0 を用いて、運動方程式および保存則を外部物理的公理を一切用いずに、幾何的恒等式として導出する。
• m個の隠れた次元を持つファイバー束構造を用いて、5+m次元に枠組みを拡張し、可視および隠れた圧力テンソルを導入して追加の物理的効果をモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的電磁気学は、追加の物理的場を導入せずに、5次元時空に完全に幾何学的に符号化可能か？
• RQ2 エネルギー運動量テンソルの物理的実現可能性を制限する幾何的制約（型と剛性）は何か？
• RQ3 4次元時空における電荷を帯びた流体の運動は、5次元ローレンツ多様体上の測地線運動からどのように純粋に導出可能か？
• RQ4 高次元統一においてリッチ曲率の役割は何か？また、4次元物理学と整合性を保ちつつ、非ゼロのリッチ曲率を許容可能か？
• RQ5 5+m次元の時空は、どのように構造化すれば重力と電磁気学を保存しつつ、隠れた圧力やポテンシャルといった新たな物理的効果を許容可能か？

主な発見

• 4次元時空における電荷を帯びた流体のアインシュタイン＝マクスウェル＝ローレンツ方程式は、5次元ローレンツ多様体上の測地線運動の射影として得られ、追加の物理法則は一切不要である。
• 運動方程式および質量・電荷の保存則は、5次元幾何的枠組みにおいて恒等的に成り立つバイリッヒ恒等式 ∇·G = 0 から純粋に導出される。
• 電磁場強度 F は、第5次元に対応するキリングベクトル Y を用いて幾何学的に定義され、その発散 ∇·F は曲率およびスカラー曲率を介して ∇·F = eX₀ + ½|F|_g Y − P(Y) と関係づけられる。
• 5次元設定において、エネルギー運動量テンソル T = μX⊗X + e(X⊗Y + Y⊗X) + γY⊗Y + P は電荷を帯びた流体を表し、μ は質量密度、e は電荷密度、P はトレースレステンソルとしての圧力を表す。
• このモデルは5+m次元に一般化可能であり、全空間のファイバー束構造から、隠れた圧力テンソルおよび追加のポテンシャル（ニュートン的および電磁的）が自然に導出される。
• 本稿では、4次元時空は追加の次元がなければ電磁気学を幾何学的に記述できないことが示され、電磁気学に必要なエネルギー運動量テンソルの型を支えることができない4次元の剛性定理が成立しないことから明らかである。