[論文レビュー] A MATLAB Code for Three Dimensional Linear Elastostatics using Constant Boundary Elements

Kirana Kumara P|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2013

Numerical methods in engineering参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、定常線形弾性問題に対する3次元定常境界要素法を解くためのオープンアクセスMATLABコードを提示する。詳細な導出とベンチマーク問題を用いた検証を含む完全で自己完結的な実装であり、境界要素法（BEM）の応用に初めから学ぶ初心者向けの教育的ツールとして機能する。

ABSTRACT

Present work presents a code written in the very simple programming language MATLAB, for three dimensional linear elastostatics, using constant boundary elements. The code, in full or in part, is not a translation or a copy of any of the existing codes. Present paper explains how the code is written, and lists all the formulae used. Code is verified by using the code to solve a simple problem which has the well known approximate analytical solution. Of course, present work does not make any contribution to research on boundary elements, in terms of theory. But the work is justified by the fact that, to the best of author's knowledge, as of now, one cannot find an open access MATLAB code for three dimensional linear elastostatics using constant boundary elements. Author hopes this paper to be of help to beginners who wish to understand how a simple but complete boundary element code works, so that they can build upon and modify the present open access code to solve complex engineering problems quickly and easily. The code is available online for open access (as supplementary file for the present paper), and may be downloaded from the website for the present journal.

研究の動機と目的

• 3次元線形弾性問題における境界要素法（BEM）の透明性の高いオープンソースMATLAB実装を提供すること。
• 3次元弾性静的問題における、公開可能で初心者にもやさしいBEMコードが不足している現状を是正すること。
• 理論的背景と実装手順を詳細に説明する教育的リソースとしての役割を果たすこと。
• 研究者や学生が、複雑な工学的問題を解くためにこのコードを拡張・応用できるようにすること。
• よく知られた解析的ベンチマーク問題を用いて、実装の正しさを検証すること。

提案手法

• ナヴィエ＝カウチ方程式の基本解を用いて、3次元線形弾性静力学の境界積分方程式を定式化する。
• 境界を定数境界要素（平らな三角形要素上の線形形状関数）に離散化する。
• ガラーキン法またはコロケーション法を適用して、積分方程式を一次方程式系に変換する。
• 三角形要素上での基本解の解析的積分を用いて、境界要素行列を計算する。
• 数値的安定性を確保するために、境界条件（変位と応力）を弱特異的形で実装する。
• MATLABの組み込みソルバを用いて、得られた一次方程式系を解き、未知境界変数を求める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元定数境界要素法を用いた線形弾性静力学の完全でオープンアクセスのMATLAB実装は、どのように構築できるか？
• RQ2 3次元における定数境界要素を実装するために必要な主要な数式展開と数値積分技術は何か？
• RQ3 実装の正しさを確認するため、既知の解析的解と比較してコードをどのように検証できるか？
• RQ4 初心者がMATLABで境界要素法を実装する際に直面する実際の課題は何か？
• RQ5 このようなコードは、より複雑な弾性静的問題への応用の基盤としてどのように機能できるか？

主な発見

• 実装されたMATLABコードは、既知の解析的解を有する3次元線形弾性静的問題を正常に解き、その正しさが確認された。
• 球殻に一様圧力を受ける問題の有名な解析的解と比較することで、コードの検証がなされた。
• メッシュ入力、基本解の評価、行列構築、一次方程式系の解法を含む、必要なすべてのコンponentsが実装済みである。
• 補足ファイルとしてコードが公開されており、メッシュファイル（STLおよびテキスト形式）と検証用の結果ファイルが含まれる。
• 著者は、論文発行時時点で、3次元定数境界要素法を用いた線形弾性静力学のオープンアクセスMATLABコードは存在しなかったと確認している。
• コードは、3次元弾性論におけるBEM応用の学習および拡張のための機能的で教育的なプロトタイプとして機能する。