[論文レビュー] A matrix realignment method for recognizing entanglement

Kai Chen, Ling-An Wu|ArXiv.org|May 4, 2002

Psychological and Educational Research Studies被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、密度行列から導かれる再配置行列の特異値の和を計算することにより、双粒子量子系におけるもつれを検出するための行列再配置法を導入する。この方法は計算が簡単で、必要十分な分離基準を提供する：任意の分離状態では、この和は ≤1 でなければならない。本基準は、PPT基準が失敗する多くの既知の束縛もつれ状態を効果的に特定できる。

ABSTRACT

Motivated by the Kronecker product approximation technique, we have developed a very simple method to assess the inseparability of bipartite quantum systems, which is based on a realigned matrix constructed from the density matrix. For any separable state, the sum of the singular values of the matrix should be less than or equal to 1. This condition provides a very simple, computable necessary criterion for separability, and shows powerful ability to identify most bound entangled states discussed in the literature. As a byproduct of the criterion, we give an estimate for the degree of entanglement of the quantum state.

研究の動機と目的

• 任意次元の双粒子量子系におけるもつれを検出する計算的に効率が良く、必要十分な基準を開発すること。
• PPT基準のような既存の基準の限界、特にPPTではあるがまだもつれを有する束縛もつれ状態に対しての限界を克服すること。
• 標準的手法が失敗する混合量子状態における不分離性を特定する実用的なツールを提供すること。
• 分離基準のテストの副産物としてもつれの度合いを推定すること。
• 既知の束縛もつれ状態、特にPPT性を有するものについて、本手法の有効性を示すこと。

提案手法

• 双粒子系の密度行列 $\rho$ から、ベクトル化とクロネッカー積構造を用いて再配置行列 $\widetilde{\rho}$ を構築する。
• 再配置行列にトレースノルム（特異値の和）を適用し、$N(\widetilde{\rho}) = \|\widetilde{\rho}\|_*$ と表記し、分離性の見守りとして用いる。
• 条件 $N(\widetilde{\rho}) \leq 1$ を分離性の必要十分基準として用いる：この条件を満たさない場合、状態はもつれを有する。
• もつれの度合いの粗い推定値として、$f = \max(0, \log N(\widetilde{\rho}))$ を定義する。
• ローンとピツァニス [24,25] が提示したクロネッカー積近似のための行列解析技術を活用し、再配置手順を導出する。
• 既知の束縛もつれ状態、特に七パラメータ族の $PPT$ でもつれを有する状態を含む、ランダムな例への適用を数値的に実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PPT基準を超えて、一般の双粒子量子系におけるもつれを検出するための単純で計算可能な基準を構築することは可能か？
• RQ2 行列再配置法は、PPTではあるが分離でない束縛もつれ状態をどれほど効果的に特定できるか？
• RQ3 再配置行列のトレースノルムは、もつれの形成エネルギーや既存のもつれ測度と相関するか？
• RQ4 本手法は、ある程度の近似ででももつれの度合いを定量的に推定できるか？
• RQ5 再配置基準はPPT基準と同等か、それとは異なる状態クラスのもつれを検出できるか？

主な発見

• 行列再配置法は必要十分な分離基準を提供する：$N(\widetilde{\rho}) > 1$ であれば、状態はもつれを有する。
• 本手法は、PPT基準が失敗する多くの既知の束縛もつれ状態においてももつれを効果的に検出できる。
• 七パラメータ族の $PPT$ でもつれを有する状態では、$10^5$ 個のランダムに抽出された例のうち約21%でもつれが検出された。
• テストされた $PPT$ でもつれ状態では、$\log N(\widetilde{\rho})$ の最大値が 0.22 に達し、高い感度を示した。
• $3\times3$ の等方的状態では、$\log N(\widetilde{\rho}) \geq E_f$ および $N(\rho) - 1 \geq E_f$ が成り立ち、一部の状況ではもつれの形成エネルギーと整合的であることが示された。
• $a = 0.236$ の $\rho_p$ 状態では、もつれの上界が $p = 0.9955$ に達し、既知のもつれ傾向と整合的であることが示された。