[論文レビュー] A matrix representation of composition of polynomial maps

Ural Bekbaev|ArXiv.org|Jan 21, 2009

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、多重インデックス順序付き行列と新しい非標準的行列積を用いて多項式写像の行列表現を提案し、その合成を記述する。主な貢献は、行列乗法を多項式合成へ一般化する閉形式の行列式 $ M_{\varphi \circ \psi} = \mathrm{Exp}(M_\psi) M_\varphi $ であり、これは多変数設定におけるボンビエの不等式の拡張をもたらす。

ABSTRACT

In this paper polynomial maps are represented by the use of matrices whose entries are numbered by pair of multiindices and a new product of such matrices is introduced. A matrix representation of composition of polynomial maps is given. In the case of real and complex numbers different kind of norms of such matrices are introduced. Properties of these norms with respect to the ordinary and new products are investigated. A generalization of Bombieri's inequality is offered.

研究の動機と目的

• 多重インデックスを用いた行列による複数変数多項式写像の表現フレームワークの構築。
• 標準的行列乗法を超えた多項式写像の合成を捉える新しい行列積の定義。
• 行列ノルムを用いてボンビエの不等式を多変数多項式写像へ一般化すること。
• 行列指数関数を用いた形式的べき級数および多項式写像の反復合成の解析を可能とする。

提案手法

• 行列は $ \alpha \in I_n $ の多重インデックスでインデックス付けされ、多項式写像における単項式の係数に対応する。
• 合成の同型を記述するために、多項係数を用いた新しい積 $ \bigodot $ が定義される。
• 写像の行列表現に行列指数関数 $ \mathrm{Exp}(M) $ を適用し、その形式的べき級数を生成する。
• 合成 $ \varphi \circ \psi $ は $ M_{\varphi \circ \psi} = \mathrm{Exp}(M_\psi) M_\varphi $ で表され、ここで $ M_\psi $ は $ \psi $ を符号化する。
• 収束性と安定性の解析のため、実数および複素数係数の行列にノルムを導入する。
• 本フレームワークにより、指数型母関数や不等式といった一変数の結果が、多変数多項式写像へ拡張可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数変数多項式写像を多重インデックスでインデックス付けされた行列で体系的に表現する方法は何か？
• RQ2 多変数多項式写像の合成の背後にある代数的構造は何か。その構造は行列形式でどのように符号化できるか？
• RQ3 行列ノルムを用いてボンビエの不等式を多変数多項式写像へ一般化できるか？
• RQ4 新しい行列積 $ \bigodot $ は標準的行列乗法および写像の合成とどのように関係するか？
• RQ5 形式的べき級数を複数変数で解析する際、行列指数関数と新しい積をどの程度活用できるか？

主な発見

• 2つの多項式写像 $ \varphi $ と $ \psi $ の合成は行列式 $ M_{\varphi \circ \psi} = \mathrm{Exp}(M_\psi) M_\varphi $ で表され、合成の完全な代数的特徴づけが得られる。
• 新しい積 $ \bigodot $ は結合的かつ可換であり、整域上では零因子の性質を満たすため、代数的変形に適している。
• 同次写像 $ \varphi(x) = \frac{x^{(k)}}{k!} A(k,1) $ および $ \psi(x) = \frac{x^{(l)}}{l!} B(l,1) $ に対して、$ M_{\varphi \circ \psi} = \frac{B(l,1)^{(k)}}{k!} A(k,1) $ が成り立ち、単項式の合成と整合的であることが確認される。
• $ \mathrm{Exp}(\mathrm{Exp}(M_\psi) M_\varphi) = \mathrm{Exp}(M_\psi) \mathrm{Exp}(M\_\varphi) $ という恒等式が成り立ち、この行列積へと指数法則が一般化される。
• $ A \in \mathrm{Mat}_{n,n}(1,1) $ に対して、$ \mathrm{Exp}(A) $ の逆行列は $ \mathrm{Exp}(A^{-1}) $ に等しく、一変数の行列指数関数の逆行列性質が拡張される。
• 多変数べき級数 $ \sum_{m=0}^\infty \frac{x^{(m)}}{m!} A_m $ の収束は、$ \|x\|_\varrho < 1/r $ のとき保証され、ここで $ r = \varlimsup_{m \to \infty} \|A_m\|_\varrho^{1/m} $ である。